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1、第四章 本构方程第四章 本构方程 在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。4.1弹性应变能函数 变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的
2、材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。1.
3、1应变能密度 假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。在上述条件下，使弹性体的未变形微元变形所需的功可表达为，即等于单元初始体积和6个应变分量的某个函数的乘积。该函数称为物体的应变能函数或应变能密度。它依赖于材料的物理特性，但与物体的形状和尺寸无关。应该注意到应变能函数仅依赖
4、于6个应变分量，和刚体运动无关。 另一方面，应变分量可以用三个主应变分量()和对于应变主轴()的方向余弦()来表示，而且由于主轴相互正交，并且()是单位矢量的分量，所以方向余弦可表示为三个独立角度()的函数。这样无穷小微无变形所需要的功为 (4.1-1)从方程(4.1-1)可清楚地看出，使一体积元(就是说一平行六面体)变形所消耗的功不仅依赖于主应变分量()的大小，而且依赖于受到()作用的体元纤维的主方向(六面体各面的方向)。 以上说明体元在不同方向对变形的响应是不同的，当一个物体呈现这种行为的性质称为各向异性，更完整地说，组成该物体的材料是各向异性的。它在不同方向呈现出不同性质(对给定力的不同
5、响应)。反之，如果材料在各方向的响应都相同(对给定力)，则称该材料(物体)为各向同性的。对在各个方向有相同性质的物体使一体元变形所需的功不依赖于该单元的方向性(即不依赖于确定主方向位置的角度)，因此仅仅是是主应变()的函数。这样，对各向同性材料， (4.1-2)从第三章知，主应变()也可以用应变不变量()，故(4.1-2)式也可写为 (4.1-3)对一般变形理论，方程(4.1-3)比方程(4.1-2)更适用，然而对于小位移理论，方程(4.1-2)的形式是有用的，因为()具有简单的物理意义。由方程(4.1-3)，整个物体变形消耗的功为 (4.1-4) 函数以及方程(4.1-1)和(5.1-2)中
6、的函数称为应变能函数，或称应变能密度，它表示相对于不变形状态物体单位体积的变形能。1.2应力分量与应变能密度函数的关系 对于处于弹性小变形的物体，即处于小应变状态的物体，设物体的闭合表面为，被所包围的体积为，假设物体处于变形的平衡状态(包括物体处于变形过程中)，可以证明所得到的应力分量与应变能密度函数之间的关系保持不变。设表示变形过程中外力作用于体积上的功，表示由变形所引起的体积内能的变化或变分。如果变形是绝热的，则由能量守恒定律导出。因此有，其中是弹性变形能函数，因此有 ， (a)功是作用于体积的体力功，和作用于表面的面力功之和。由应力状态理论知，功为 (b)式中和分别是在坐标方向的位移矢量
7、和相应于体积的体力分量。类似地， 根据应力边界条件可得面力功为 (c)根据散度定理，该面积分可转换为体积分 (d)根据变分与微分符号可以互换，并注意，则由(a)、(b)、(c)、(d)式可得 (e)因为方程(e)反映了固体变形的绝热过程，所以由该式可得 (f)在绝热情况下，方程(f)右端的表达式就是应变的微分，并且存在一函数，具有由下列关系所表达的性质 (4.1-5a)由该式可得 (4.1-5b)函数表示由于变形(应变)而贮存在物体单位体积内的应变势能。采用工程符号上式可写为 (4.1-5c)当物体为绝热变形时，的变分与物体内能密度的变分相同。满足关系(4.1-5)的函数称为总应变能密度函数。
8、应变能密度函数的存在也可说明一个等温(恒温度)过程。实际上说，一个绝热过程可以由物体内经历小而迅速的振动变化来近似表示，反过来等温过程可以由逐渐加载引起物体缓慢变形，且物体的温度与周围物体连续保持平衡在物体内所引起的变化来近似表示。方程(4.1-5)极大地简化了在弹性力学小挠废理论中确定应力分量的问题，因为我们只需寻找一个函数代替寻找6个未知函数()。一般说来是6个应变分量的函数，或者是6个应力分量的函数。如果材料是各向同性的，结果就会更简单，因为主应变方向与应变能密度无关，是主应变的函数于是由方程 (4.1-5)，主应力为 , , 主应力和主应变不受介质质点旋转的影响，即使位移是大的，但只要
9、应变与1相比是小的，方程(4.1-5)也是正确的。4.2线弹性变形体的广义虎克定律 不同材料具有不同的拉伸曲线的，但是它们也有一些共同的规律，一般说来，当变形较小时，即应力小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，因而是可以恢复的。当卸除外载荷后，物体可以完全恢复到变形前的初始状态，在物体内没有任何残余变形和残余应力。这时应力与应变之间的关系可以用虎克定律表示，即，称为弹性模量。另外，在线弹性范围内，当试件在轴向()拉伸或压缩过程中，其横截面的侧向()也相应地在缩小或增大，根据试验知，侧向应变与轴向应变之间存在如下关系： 对于三维应力状态，依据前述应力张量与应变张量的对称性，因此描述
10、一点的应力状态一共有6个应力分量和6个应变分量。当材料处在线弹性阶段时，应力与应变之间仍存在线性关系，所以对于均匀的理想弹性体，应力与应变之间的关系可写为 (4.2-1)其中为弹性系数。由材料的均匀性可知，系数与坐标无关。式(4.1-1)建立了应力与应变之间的关系，称为广义虎克(Hooke,R)定律或弹性本构关系。在式(4.2-1)中，系数一共有36个。一般情况下，系数不是常数，除依赖温度外，还依赖于物体中的位置，通常是随着温度的增高而减小。实际上，方程(4.2-1)不是定律，仅是对小应变正确的一种近似，因为任何连续函数在变量的足够小的范围内是近似线性的。对于物体内给定温度和位置，方程(4.2
11、-1)中的系数是代表材料特性的常数。 2.1各向异性材料对于各向异性材料这36个常数也并不是独立的。由方程()4.2-1)和(4.1-5b)可知 (4.2-2)将(4.2-2)式分别进行微分，则得 (4.2-3)这些方程说明，即弹性系数是对称的，因此只有21个不同的系数。也即对于各向异性弹性材料有21个弹性系数。由此可知，一般各向异性材料的应变能函数为(4.2-4)2.2对称性材料 在某些结构材料中，可能存在着特殊的对称性，如在坐标变换中中弹性系数可能保持变换，这种变换称为相对于平面的反射。这种变换的方向余弦由表3.2知，分别为 (4.2-5)将方程(4.2-5)代入方程(2.3-4)和(3.
12、3-5)，并注意到可得 (4.2-6)和 (4.2-7)因此在方程(4.2-4)的变换下，方程(4.2-1)的第一个方程给出， (4.2-8)将方程(4.2-6)和(4.2-7)代入方程(4.2-8)可得 (4.2-9)比较方程(4.2-1)的第一式和方程(4.4-9)得出条件，因此必然。类似地考虑，发现 因此，如果一种材料的弹性性质对于()平面反射(即该物体有一弹性对称面)是不变的，则该材料独立的的弹性系数共有13个，其矩阵形式为 (4.2-10)如果材料有两个互相垂直的弹性对称平面，可以证明，则矩阵(4.2-9)可简化为 (4.2-11)矩阵(4.2-11)中仅有9个独立的弹性常数，因此，
13、方程(4.2-1)得到进一步简化。2.3各向同性正交异性材料对某些特殊性质的材料，其系数可以用杨氏模量、剪切模量和泊松比3类工程系数来表示。如，平面是各向同性材料的特性可用5个系数描述，而在与该平面垂直的方向则呈各向异性。换句话说，在绕对称轴旋转任何角度时，其弹性系数保持不变。因此，横观各向同性材料有如下特征的弹性系数矩阵 (4.2-12)其中。按工程表示法 ， (4.2-13a) , (4.2-13b)此处。由确定系数。剩下的工程(弹性)系数与4个系数()有如下关系 ， (4.2-13c) 2.3各向同性材料如果材料在三个方向力学性质是相同的，则称为各向同性材料，例如金属材料即属于此类材料。此时弹性系数只有2个，即，但独立的弹性系数只有2个。因此，在(4.2-11)式中，应有，各系数分别为 ， ， 这样，(4.2-1)式广义虎克定律简化为 (4.2-14a)式(
