《线性代数2015课件2.1向量及其运算2.2向量的线性关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数2015课件2.1向量及其运算2.2向量的线性关系（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Linear Algebra,第二章 向量与线性方程组,2.1 向量及其运算 2.2 向量的线性关系 2.3 向量组与矩阵的秩 2.4 齐次线性方程组 2.5 非齐次线性方程组,消元法解线性方程组的三种同解变形 ，用矩阵的初等行 变换表示了用消元法解线性方程组的过程。,n 个未知量n个方程的线性方程组，引进行列式的概念，若系数行列式的值不等于0，那么可由克拉默法则表示出它的唯一解。同时，这类方程也可以表示为矩阵方程，用求逆矩阵的方法也能够表示出它的唯一解。,当方程组的系数行列式等于0，或者方程的个数少于未知量的个数时，求逆矩阵和克拉默法则
2、的这两种方法都失效了。,此时，是否有解？如果有，有几个？不止一个时，解与解之 间是什么联系？,2.1 向量及其运算,引例 一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。,定义2.1,如果将有序数组写成一列的形式，则称向量 为列向量。,实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。,2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。,3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。,4、负向量：称向量 为向量 的负向量，记作 。,5、向量组：如果n个向量 是
3、同维向量，则称为 向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习：已知 ，求,解,（1）,则方程组有向量形式,线性方程组的向量表达式,若记,线性方程组,即为系数矩阵的第 列,2.2 向量的线性关系,解 设,则,所以,定义2.4 设有同维向量 ，如果存在 一组数 ，使得 成立， 则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。,定义2.5,显然：含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组 ，如果存在一组不全为零的数 ，使得 成立，则称 向量组 线性相关，否则，
4、称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时， 才成立，则称向量组 线性无关。,两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。,证明,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。,任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示，,解 设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,证明,例5 已知向量组 线性无关，证明：向量组 线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,所以有,由于,事实上，可取,则,否则，若,可推得,这与已知矛盾，所以,定理2.1若向量组 线性无关
5、，而向量组 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,不妨设,于是有,则有,解 设,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结：,(3) 向量 可由向量组 线性表示,线性方程组 有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1、单个非零向量是线性无关的。,2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。,4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。,作业 P71 2.1(2)(4),
