现代设计方法教学作者张大可第1章节优化设计概述课件

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1、第1章 优化设计概述,2,重庆大学机械工程学院,优化设计（optimal design）是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以便选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。 设计原则是最优设计； 设计手段是电子计算机及计算程序； 设计方法是采用最优化数学方法。,现代设计方法第1章 优化设计概述,1.0 引言,3,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,优化设计方法的发展历史: 1) 二次世界大战期间产生了。 2)二十世纪五十年代产生的数学规划法成

2、为解决求优方法的理论基础，并首次运用到了结构优化。 数学规划方法作为 应用数学的一个重要分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。此外，还有动态规划、几何规划和随机规划等。 3）二十世纪六十年代，计算机的发展为优化设计方法的应用提供了条件。,4,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述, 此后，优化设计方法陆续应用到机械结构、建筑结构、机床、汽车、造船、航天航空、冶金、铁路、化工、自动控制系统、电机、电器以及电力系统等工程设计领域，并取得了显著效果。 优化设计就是寻求设计参数的最优值，而设计上的“最优值”是指在一定条件（各种设计因素）影响下所能得到的最佳设计值，在很多情况下可以用最

3、大值或最小值来表示。 优化设计工作主要包括以下两部分内容： （1）建模: 建立数学模型，即将物理问题转化为数学问题。三要素的确定。 （2）求解: 求解数学模型。可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值问题。,5,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,1.1 设计变量 在优化设计过程中其取值大小需要调整、修改并最终确定的参数，称为设计变量。 设计变量的全体应该是一组相互独立的基本参数，一般用向量 X 加以表示。设计变量向量的每一个分量都是相互独立即线性无关的。 以n个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间，它是n维实空间，用 表示，如果其中任意两个向量又有内积运算，

4、则称为n维欧氏空间，用 表示。 当n=2 时， X是二维设计向量，设计空间为二维 空间；当 n=3时， X为三维设计向量，设计空间为三维 空间；当 n3时，设计空间是一个想像中的超越空间。 设计变量类型 : 连续、离散。 根据设计变量 的多少优化问题可 分为：小型、中型、大型问题。,6,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,设计空间是所有设计方案的集合，用符号 表示。任何一个设计方案，都可以看作是从设计空间原点出发的一个设计向量 ，该向量终点的坐标值就是这一组设计变量 的各个分量。 一组设计变量表示一个设计方案，该组设计变量对应的设计向量 的终点也称设计点。而设计点的集合即构

5、成了设计空间。,图1-1 设计空间,7,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,1.2 目标函数 目标函数又称评价函数，是用来评价设计方案好坏的标准。任何一项机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，该函数就称为优化设计的目标函数。 目标函数是一个标量函数。目标函数取值的大小，是衡量设计质量优劣的指标。 优化设计中一般取最优值为目标函数的最小值，而最大值问题可以转化为最小值问题。,8,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,图1-2 二维目标函数等值线,优化设计 就是要寻求一个最优设计方案，即最优点 ，

6、而从使目标函数达到最优值 。,9,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,1.3 约束条件 目标函数的计算值取决于设计变量的取值，而在很多实际问题中设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件，简称约束。 约束条件的分类： 1）等式 约束、不等式约束 ； 2）显式约束，隐式约束； 3）边 界约束和性态约束。 等式约束的个数必须少于设计变量的个数。,10,重庆大学机械工程学院,现代设计方法第1章 优化设计概述,约束条件常用数学等式或不等式来表示。 等式约束对设计变量的约束严格，起着降低设计自由度的作用。等式约束既可能是显约

7、束，也可能是隐约束，其形式为,在机械优化设计中不等式约束更为常见，不等式约束的形式为,或,式中 X设计变量； p等式约束的数目； m不等式约束的数目。,在上述数学表达式式中 为设计变量的约束方程，它们规定了设计变量的允许取值范围。优化设计，即是在设计变量允许范围内，找出一组最优参数, 使目标函数,达到最优值 。,重庆大学机械工程学院,11,现代设计方法第1章 优化设计概述,图1-3 设计空间中的约束面（或约束线） （a）二维设计空间的约束线 （b）三维设计空间的约束面 （c）组合约束面, 约束边界和可行域,重庆大学机械工程学院,12,现代设计方法第1章 优化设计概述,图1-4 约束条件规定的可

8、行域,约束边界和可行域 优化设计的过程，即为在可行域内寻找最优点（或最优设计方案）。,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,13,1.4 优化设计的数学模型,任何一个优化问题均可归结为如下的描述，即：在满足给定的约束条件（决定在 n 维空间Rn中的可行域 D）下，选取设计变量X 值，使其目标函数f(X)达到最优值。其数学表达式（数学模型）为设计变量,在满足约束,的条件下，求目标函数f(X)的最优值。,重庆大学机械工程学院,14,现代设计方法第1章 优化设计概述,目标函数的最优值一般可用最小值（或最大值）的形式来体现，优化设计的数学模型可简化表示为如下标准型式：,s.t.,式中

9、s.t. 为subject to的缩写。,（1-1）,1.4.1 数学模型的标准形式,重庆大学机械工程学院,15,现代设计方法第1章 优化设计概述,建立数学模型是优化设计过程中最重要的一步，它直接影响优化效果。对于比较复杂的问题，建立数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以便于建立数学模型。有时，对于同一个优化问题，可建立不同型式的数学模型，若对某一型式的数学模型不能求得最优解则有必要改变其数学模型的型式。 线性规划、非线性规划、整数规划、约束优化问题、无约束优化问题等基本概念。 以下举一例子以说明建立数学模型的过程。,重庆大

10、学机械工程学院,16,现代设计方法第1章 优化设计概述,例题1-1 欲用薄钢板制造一个容积为5m3, 的汽车货箱（无上盖），由于运输的货物要求其长度不小于4m, 为了使耗费的钢板最少并减轻质量，问: 应如何选取货箱的长x1, 宽x2和高x3?,解 显然，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比，由于货箱不带上盖，则目标函数为,约束条件为,重庆大学机械工程学院,17,现代设计方法第1章 优化设计概述,所以其数学模型为,s.t.,若有一个等式约束，则在原则上可以消去一个设计变量。当然，这时被消去的那个设计变量应该以显式的形式表达出来。在上述问题中，由等式约束条件得 ，代入目标函数后原问题的数学模型可简化为

11、,s.t,即设计变量由三个减为两个。事实上，当x1, x2确定后，根据等式约束条件，x3即可确定。,重庆大学机械工程学院,18,现代设计方法第1章 优化设计概述,1.4.2 优化设计问题的分类 优化问题可以从不同的角度进行分类： 按其有无约束条件分成无约束优化问题和约束优化问题； 也可以按约束函数和目标函数是否都为 线性函数，分成线性规划问题和非线性规划问题； 还可以按问题规模的大小进行分类，例如，设计变量的个数在50以上的属大型，10个以下的属小型，1050属中型。随着电子计算机容量的增大和运算速度的提高，划分界限将会有所变动。 根据设计变量是否 都为连续变量，分为连续变量问题和离散变量问题

12、； 根据优化设计的目标为一个或者多个，分为单目标优化问题或多目标优化问题。,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,19,1.4.3 优化问题的几何解释 无约束优化问题就是在没有限制的条件下，求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面（线）的形式反映出来的，无约束优化问题的极小点即为等值面（线）的中心。 约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点可能在可行域内或在可行域边界上。用下页图1-5可以说明有约束的二维优化问题极值点所处置的几种不同情况。,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,20,图1-5 极值点所处位置不同的几种情况

13、（a）极值点处于多角形的某一顶点上 （b）极值点处于等值线的中心 （c）极值点处于约束曲线与等值线的切点上 （d）极值点处于约束曲线与等值线的切点上 （e）极值点处于两个约束曲线的交点上,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,21,1.5 优化设计的数值计算方法迭代法及其收敛性 机械优化设计问题虽然多属于约束优化问题，但从求解方法来说，约束优化方法和无约束优化方法是紧密相联的，无约束优化方法是优化方法中最基本的方法，是求解约束优化问题方法的基础，另外，在很多时候可将约束问题转化为无约束问题进行求解。 无约束优化问题的求解方法可分为两大类：解析法（间接优化方法）和数值计算法（直

14、接优化方法）。,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,22,1.5 .1 解析法间接优化方法,由n元函数 存在极值的充分必要条件可知，利用解析法寻找极值点时，需要求解目标函数的偏导数组成的方程组或梯度：,以便找出稳定点，然后还要用Hessian矩阵对所找到的稳定点进行判断，检查它是否是最优点。,1.5 .2 数值计算法 直接优化方法,图1-6 迭代计算法逐步逼近最优点探索过程的示意图,1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点 , 从 出发按照一定的原则寻找可行方向和步长，向前跨出一步达到函数值较小的 点；,2）得到新点 后再选择一个新的使函数值下降的方向及适当的步长，从 出发

15、再跨出一步, 达到 点。,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,23,依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终无限逼近目标函数的最优点。迭代形式为：,使,即应使迭代点的目标函数值一次比一次小。,式中,第 k 步迭代计算所得到的点，称第 k 步迭代点，用失量表示；,第 k 步迭代计算的步长，标量；,第 k 步迭代计算的探索方向，矢量。,（1-2）,用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图1-6所示。,可见，数值计算法（数学规划法）求优的核心有两点：第一为建立搜索方向,，第二为确依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算定最佳步长,整个数值计算法求优过程，就是不断地建立搜索方向、确定最佳步长的过程。,3）每向前跨完一步，都应检查所得到的新点是否满足预定的计算精度 , 即,现代设计方法第1章 优化设计概述,重庆大学机械工程学院,24,由线性代数知，根据任意一个迭代式进行计算，不一定都能得到逼近精确解的近似解。如果根据一个迭代公式能够计算出逼近精确解的近似解，也就是说近似解序列 有极限