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1、1,第三章 线性系统的运动分析,3.1 线性定常连续系统的自由运动 3.2 状态转移矩阵的性质 3.3 线性定常连续系统的受控运动 3.4 线性定常离散系统的分析 3.5 连续系统的离散化,2,在控制u=0情况下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程描述 ：,3.1 线性定常连续系统的自由运动,且 ，求导并考虑状态方程，得,齐次状态方程求解方法：幂级数法、拉普拉斯变换法和凯莱哈密顿定理法。,幂级数法:设齐次方程的解是t的向量幂级数,式中， 都是n维向量，,3,3.1 线性定常连续系统的自由运动,等号两边对应的系数相等，有,4,故,定义,则,称为矩阵指数函
2、数，简称矩阵指数 ,又称为状态转移矩阵，记为 ：,求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移矩阵的问题 。,5,拉普拉斯变换法 ：,对 进行拉氏变换，,有： 进行拉氏反变换，,有： 与 相比,有： 它是 的闭合形式。,解,6,7,状态方程的解为 :,凯莱哈密顿定理 矩阵A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为,则有 :,8,推论1 矩阵A的 次幂，可表为A的（n-1）阶多项式 ：,从该定理还可导出以下两个推论：,推论2 矩阵指数 可表为A的（n-1）阶多项式，即：,在推论1中用A的特征值替代A后等式仍能满足：,利用上式就可以确定待定系数 ：,且各系数是线性无关的。,9,求解上式
3、，可求得系数 ， ， ，它们都是时间t 的函数，将其代入推论2式后即可得出 。,若 互不相等 ：,可写出各所构成的n元一次方程组为 ：,10,11,例3-2 已知 ，求 。,解 首先求A的特征值：,将其代入 ，,12,有 ，,13,若矩阵 A 的特征值是 m 阶的(m个重根)： 则求解各系数的方程组的前m个方程可以写成：,其它由 组成的（k - m）个方程仍与第一种情况相同，它们上式联立即可解出各待定系数。,14,15,例3-3 已知 ，求 。,解 先求矩阵 A 的特征值，由得：,16,3.2 状态转移矩阵的性质,状态转移矩阵 具有如下运算性质：,1),2),3),在式 3）中，令 便可证明；
4、,表明 可分解为 的乘积，,且 是可交换的。,17,3.2 状态转移矩阵的性质,4),证明:由性质3）有,根据 的这一性质，,对于线性定常系统，显然有,5),证明 :由于,则,18,6),得到,7),证明：,19,解：根据状态转移矩阵的运算性质有,20,3.3 线性定常连续系统的受控运动,线性定常系统的受控运动: 线性定常系统在控制作用下的运动，数学描述为：,主要有如下两种解法：,1) 积分法 由上式,由于,积分后有,即,21,3.3 线性定常连续系统的受控运动,式中，第一项为零输入响应；,若取 作为初始时刻，则有,第二项是零状态响应。,通过变量代换，上式又可表示为：,22,解 由于,23,24,3.4 线性定常离散系统的分析,1)递推法(线性定常系统) 重写系统的动态方程如下：,令状态方程中的k=0，1，k-1，可得到T，2T，kT 时刻的状态，即：,25,3.4 线性定常离散系统的分析,26,3.5 连续系统的离散化,3.5.1 线性定常连续系统的离散化,令,则,并假定在 区间内， ，,则,27,3.5 连续系统的离散化,于是其解化为,若记,变量代换得到,故离散化状态方程为,
