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1、现代控制理论,第一章 控制系统的 状态空间模型,1-1 状态及状态空间表达式 1-2 由微分方程求状态空间表达式 1-3 由传递函数求状态空间表达式 1-4 状态方程的线性变换,1-1.状态及状空间表达式,在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。 一.状态及状态空间 1.状态：什么叫系统的状态呢？ 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意：,完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初始状态）又已知tt0 时系统的输入u(t)，则系统在 tt0 时，任何
2、瞬时的行为就完全且唯一被确定。,最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量,在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t),则可求得输出y(t),(tt0)故可选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。,但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。 一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。,3. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量
3、x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量,又表示为：x(t) Rn x(t) 属于n维状态空间 ,4.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开始变化，运动规律如下：,引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。,二.状态空间表达式 它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完
4、全描述。 1. 建立方法： 例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.,y(t),弹簧-质量-阻尼器系统,解：列基本方程：,选择状态变量：取：,故得：,将以上方程组写矩阵形式,即,系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。,结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1.首先根据基本规则列基本方程； 2.选择系统的状态变量；（按状态定义选） 3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。,2.一般形式：,对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）,其中：,C-输出矩阵 mn阶常数矩阵 D-直连矩阵 mr阶常数
5、矩阵,3.一般线性时变系统：,区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程),4. 非线性定常系统:,6.线性系统状态空间表达式的简便写法： 对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: =(A,B,C,D)定常 =(A(t),B(t),C(t),D(t)时变,5.非线性时变系统：,三 .线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ：,按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。,结构图：,在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图,例：单输入单输出系统
6、,由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。 下面举例说明： 例： 试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。,J:电动机轴上的转动惯量,f:负载的阻尼摩擦性质,解：由基本规律列写原始方程：,电路方程：,选状态变量:,故得状态方程：,而输出方程为：,最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图,小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入输出描述更近了一步。 1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：,即 u(t),状态方程,输出方程,x(t),Y=CX+Du,Y(t),2.状态变量的个数等于系统的
7、阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。 3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。 4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂 ，其形式是一致的。,1- 2.微分方程与状态空间表达式之间的变换,对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式： 这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。,一.输入项中不含有导数项： 假设单输入单输出线性系统的微分方程为：,其中：为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵
8、的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道，,二.输入项中包含有导数项：,以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变: 将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法： 方法二： 首先引入中间变量z，令：,这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。 注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。,例 将以下高阶微分方程： 试用方法二写出其状态空间表达式。,解：按方法二 可得：, 1.3
9、 由传递函数求状态空间表达式,T-F D-E S-E 传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。 根据前面介绍的 微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。,一、传递函数中没有零点时的变换,传递函数为：,系统的微分方程为：,则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：,传递函数也可分解成下图所示的结构。,选状态变量为：,对应的状态空间表达式为：,其中阵和阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示：,能控标准形实现的模拟图,二、传递函数中有零点时
10、的变换,传递函数为：,微分方程为：,则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：,从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：,式中,分解式第一部分是系统结构决定的。描述系统的自由运动规律。当选中间变量z及z的各阶导数为一组相变量形式时。得到的状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。,分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于相变量组各变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。,若传递函数等效为：,式中,此时，式中的C阵和D阵可直接写成,：,由此画出的系统计算机模拟图如图所示。,能控标准形实现模拟图,例: 已
11、知系统的传递函数：,试按能控标准形实现写出状态空间表达式。,解：由公式写出能控标准形为：,1,若将传递函数化成严格真有理分式，则,按简化公式可得：,，,一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，即,，,式中 是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成,此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。,1,试按能控标准形实现写出状态空间表达式。,解：将传递函数整理成标准形式,按上式写出能控标准为：,例：已知系统的传递函数, 1.4 由传递函数部分分式法求状态空间表达式,本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法
12、。下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以讨论。,1.传递函数无重极点的情况： 给出T-F: 其中：,拉氏反变换得：,令状态变量的拉氏变换为：,而由输出可得：,所以：,反变换得：,可见，各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。,对应的状态结构图如下：,注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。 即： 则：,存在输出到输入的直连通道。,例：已知 求S-E 解： 先化为真有理式,2.传递函数有重极点时 设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为：,其中： 即：,设状态变量为：,又,3.对于即有单根，又有重根的情况： 可根据
13、以上两种情况写出矩阵A.B.C. 例：设T-F为 解：,得：, 1-5.由结构图建立状态空间表达式：,一、若已知闭环系统的结构图，则由结构图直接建立系统的状态空间表达式。 举例说明建立方法： 例：已知某系统的结构图如下： 试建立系统状态空间表达式。,解：（1）首先将结构图中每个方框的T-F分解为单环节的组合。即仅由惯性环节 和积分 环节的简单形式组合： 方框图分解为： （2）将每一个基本环节的输出设为状态变量（如上图）,（3）写状态空间表达式。 反变换,二、基本环节结构图分解,1、一阶环节,2、二阶环节,根据分子分母分离法,按图中状态变量显然输出方程为:,前面介绍了由D-E，T-F S-E的方
14、法。作为数学模型的各种形式，是可以相互转换的。下面介绍一种简便的由S-E D-E，T-F的方法： 拉氏变换法： 设单变量系统的状态空间表达式为： 零初始条件下，取拉氏变换，对S-E., 1.6由状态空间表达式转换为传递函数：P54,再对输出方程取拉氏变换. 1.求T-F.,2.求D-E 由 对上式进行反变换即得D-E。 显然 是方程的特征多项式。 例：已知： 试求：D-E和T-F,解：,故： T-F 又 反变换得D-E： 注：这种方法是根据状态方程和输出方程两部分共同来写D-E和T-F的。,U,1-7 状态方程的线性变换 P40,如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选
15、择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。 一.线性变换的概念 1.定义：状态 与 的变换，称为状态的线性变换 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：,其中为任何非奇异 阵。,2.基本关系式: 设一个n阶系统 ，状态矢量为x,其状态空间表达式为,现取线性变换为 ,其中:是 阶非奇异阵。代入上述表达式，得,比较可得：,可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。,例: 试建立下面RLC网络的状态空间表达式：,解：根据电路原理，得基本方程,4. 验证两状态空间表达式的变换关系,经变换后的状态为：,对应的变换矩阵为：,二.状态变换的基本性质 1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。 下面复习一下线性代数的几个定义。 -矩阵用参数的多项式做元的矩阵叫做 -矩阵。常数可看做的零次多项式。,叫做A的特征矩阵,特征矩阵设常数矩阵 那么-矩阵,特征多项式特征矩阵的行列式 是首项系数为1的的n次多项式，叫做A的特征多项式，其中特征根叫做A的特征根。 显然：n 阶矩阵有n个特征根（实根和共轭虚根） 因为多项式的常数项为 若A是降秩的 ，特征根中有零根。,用以上概念讨论下列齐次线性方程
