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1、线性代数应用实例,取自线性代数机算与应用指导（MATLAB）版,例1 平板稳态温度的计算,为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许多方格，每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个节点温度的平均值。 由此可得出阶数与节点数相同的线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。 该方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。,平板温度计算的模型,整理为,用行最简型求解的程序,A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4; b=30; 50; 60; 80; U=rref(A,b) 结果为： U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0
2、0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500,向高阶系统扩展,分割得愈细，求出的解就愈精确。如果把上述区域分成25个点，则就要解25阶的线性方程组。 书上给出了其程序和结果，其温度分布如右下图所示。,例2 交通流的建模,对于一个有双向车流的十字路口，根据流出流入车数相等的规则，可以列出下列方程组。 节点A：x1360x2260 节点B：x2220x3292 节点C：x3320x4357 节点D：x4260x1251 矩阵方程如右：,程序及运行结果,A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1; b=-100
3、;72;37;-9;U=rref(A,b) 计算结果为： U = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 0 0 0 0 0,由于U的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立。X4可以任设，因为如果有一些车沿此路口环行，对方程无影响，故方程组的解可以表示为：,向高阶系统扩展,把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的6节点交通流图，它就要由6个方程和7个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义请读者类推。,例3 飞机航线问题,下图描述了四个城市之间的航空航线图，其中1、2、3、4
4、表示四个城市；带箭头线段表示两个城市之间的航线。令行号表示起点城市，列号为到达城市，则定义邻接矩阵A为：,转机航线的数学模型,其中， A(i,j)=1描述从城市i出发，可以到达第j个城市，否则A(i,j)=0。 不难证明：矩阵A*A表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市，矩阵A3表示连续坐三次航班可以到达的城市：,多次转机到达的城市,B= A+ A2 + A3 程序为： A=0,1,1,1;0,0,1,1;0,0,0,0;1,1,0,0; B=A+A*A+A3,若乘坐一次、二次或三次航班，则可以到达的城市可以由矩阵B来描述：,例4 药方配制问题,通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关
5、性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识。,（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新特效药的成分，请问能否配制？如何配制？,某中药厂用9种中药A-I，根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1(单位：克)。,表1：各成药的比例成分,表2：新药的成分要求,问题的分析思路,问题(1)分析：把每一种特效药看成一个九维列向量u1-u7，即u3,u6向量与其他向量是否线性相关的问题。若向量组线性相关，且能将u3,u6向量用其余向量线性表示，
6、则可以配制3号和6号药品。,问题(2)分析：即三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。,中药配方问题的程序,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5
7、,u6,u7 U0,r=rref(U),运算结果,U0= r= 1 2 4 5 7 1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看 0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性 0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组即为 0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7 0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2 四个零行 u6=3u2+u4+u5 故可以配制3号和6号药。,问题(2)的求解程序： U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3 U0,r=rref(U),计算结果为： v1 v2 v3 一个最大无关组为： u1, u2,
8、 u4, u5, u7,v3, 可以看出： v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3属于最大无关组,不能被线性 表示，所以无法配制,例5 人口迁徙问题,假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5的市区居民搬到郊区；而有15的郊区居民搬到市区。若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区。请分析： （1）10年后市区和郊区的人口各是多少？ （2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？ （3）分析（2）中数据相似的原因。,解：令人口变量 其中 为市区人口所占比例， 为郊区人口所占比例。在n+1年的人口分布状态为：,用矩
9、阵乘法可写成：,开始市区和郊区的人口数为 可以得到n年后市区和郊区的人口分布： 因此10年后的人口可用程序计算如下： A=0.95,0.15;0.05,0.85; X0=700000;300000; X10=A10*X0 程序运行的结果为： 市区和郊区人口数约为：744630和255370。,无限增加时间n，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，可以将A对角化。令 ，其中为对角矩阵，则有,程序运行结果,% 分析n年后城市人口分布 A=0.95,0.15;0.05,0.85; X0=700000;300000; P,lamda=eig(A); sy
10、ms n % 定义符号变量n Xn=P*lamda.n*inv(P)*X0 % .n对矩阵lamda中所有元素进行幂运算 计算结果为： 随n增大后一项(4/5)n趋近于零。,例6 多项式插值与拟合,下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。 （1）请过这五个点作一个四次多项式函数， 并求x=5时的函数值。用MATLAB绘制多项式函数曲线、通过已知点及插值点。 （2）请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数， 并用MATLAB绘制多项式函数曲线及已知的五个点。,解：（1）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：,系数矩阵A的行列式为范德蒙德(Vandermonde)
11、行列式，且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，所以方程组有唯一解。 写出程序： x=0;1;2;3;4; % 输入已知点坐标 y=-27;0;21;0;-75; A=x.0,x.1,x.2,x.3,x.4; % 构造范德蒙矩阵 a=Ay % 得到适定方程组的唯一解a 运行程序，得到 a(1)=-27, a(2)=12, a(3)=26, a(4)=-12, a(5)= 1,多项式拟合：解一个超定方程,把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到如下线性方程组：,该方程组有三个未知数，但有五个方程，分析得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚好能过已知的五个点。MATLAB
12、软件提供了一个利用最小二乘法解决超定方程组解的方法，其公式也是a=Ay，以找到一条二次曲线来近似地描述已知5点的变化情况。 对比插值和拟合的曲线如下图,例7 刚体的平面运动,用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩阵X来表示它。X的一列表示刚体一个顶点的坐标。为了使图形闭合，X的最后一列和第一列相同；为了实现刚体的平移运算，给矩阵X添加元素值都为1的一行，使矩阵X的形状为3n。 若有矩阵： 可以证明，矩阵是刚体X沿x轴正方向平移，沿y轴正方向平移后的结果；矩阵是刚体X以坐标原点为中心逆时针转动t弧度的结果。,计算实例,设刚体图形的各个顶点坐标如下： 构造刚体矩阵X，平移矩阵M及转动矩阵
13、R。,X=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;0,14,14,0,0,11,6,6,5,4.5,0,0;ones(1,12); % 构造刚体矩阵 plot(X(1,:),X(2,:); % 绘制原来刚体 Hold on %保留该图 M=1,0,-30;0,1,15;0,0,1; % 构造平移矩阵 Y1=M*X; % 计算平移结果 fill(Y1(1,:),Y1(2,:),red); % 绘制平移后刚体 Hold on R=cos(pi/3),-sin(pi/3),0;sin(pi/3),cos(pi/3),0;0,0,1;% 构造转动矩阵 Y2=R*X; fill
14、(Y2(1,:),Y2(2,:),blue); % 绘制转动后刚体 Hold on Y3=M*R*X; % 构造平移加转动矩阵 fill(Y3(1,:),Y3(2,:),black); % 绘制转动及平移后刚体 Hold off,程序实现,程序运行的结果,线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程 -David C. Lay,广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。 应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。,
