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1、,2,第十一章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,3,第一节 常数项级数的概念和性质,一. 常数项级数的概念,引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,时, 这个和逼近于圆的面积 A.,它们的面积可表示为,即,4,1.定义：,给定一个数列,将各项依次相加，简记为,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,2.级数的前 n 项和,称为级数的部分和 .,如果,存在 ,记作,否则称为发散 .,收敛 ,并称 S 为级数的和,则称无穷级数,5,6,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称
2、为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,当,时,从而,因此级数收敛 ,当,时,从而,因此,则部分和,级数发散 .,由于,其和为,由于,7,2). 若,当,因此级数发散 ;,当,时,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,时,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,8,例2. 判别下列级数的敛散性.,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,9,例2. 判别下列级数的敛散性.,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,10,解,11,12,13,14,15,二. 无穷级数的基本性质,性质
3、1. 若级数,收敛于 S ,则各项乘,以常数 c 所得级数,也收敛 , 其和为 c S .,证：令,则,这说明,收敛，其和为 c S .,说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,16,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,17,性质2. 设有两个收敛级数,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散 , 则,不一定发散.,例如,则级数,也收敛, 其和为,(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,用反证法可证,18,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级,数的敛散性.,证: 将
4、级数,的前 k 项去掉,的部分和为,由于,时,敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,与,极限状况相同,故新旧两级数,所得新级数,19,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,数的和 .,证: 设收敛级数,若它按某一规律加括弧 , 例如设为,显然, 新级数的部分和序列,为原级数,部分和序列,的一个子序列.,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意:原级数发散,则加括号后不一定发散,级数,却发散 .,因此必有,例如,用反证法可证,20,三. 级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,由此可知: 若级数的一般项不趋于0, 则级数必发散 .,例如,级数,其一般项为,当,不趋于0,因此这个级数发散.,时,21,注意：,并非级数收敛的充分条件 .,例如，调和级数,虽然,但此级数发散 .,22,例3. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级数,发散 .,23,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,24,级数的部分和为,则,这说明原级数收敛 , 其和为 3 .,故,25,四、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,26,P192 1（1）， （3） ； 2（2），（3），（4）； 3（2）； 4（1），（3），（5）,作业11-1,27,练习题,28,29,练习题答案,
