《线性代数同济版线代第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数同济版线代第四章（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合,定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 备注： 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组 当R(A) n
2、 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数 定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线
3、性表示,例：设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,回顾：线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式,增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定理1 的结论：,定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组
4、B 能由向量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价,设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即,线性表示的 系数矩阵,设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得 b2 = k12a1 + k2
5、2 a2 + + km2 am ； 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵,口诀：左行右列,定理：设A是一个 mn 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于
6、在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）,A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使 AP1 P2 , Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀：左行右列.,把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵,向量组
7、B：b1, b2, , bl 能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) R(A) （P.85 定理3）,推论：向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ,因为 R(B) R(A, B),R(A) = R(A,
8、 B),R(B) = R(A, B),例：设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式,解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ,因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示,行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 ,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量 设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R
9、(A) = n ,分析： n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) R(A) = n ,（注意到：R(A, E) = n 一定成立）,小结,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,2 向量组的线性相关性,回顾：向量组的线性组合,定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实
10、数 k1, k2, , km ，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数 定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示,引言,问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定
11、理1 的结论：,问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解 事实上，可令k1 = k2 = = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）,问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零,例：设,若,则 k1 = k2 = k3 =0 ,向量组的线性相关性,定义：给定向量组 A：a1, a2
12、, , am ，如果存在不全为零的实 数 k1, k2, , km ，使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的,向量组 A：a1, a2, , am 线性相关,m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,R(A) m,备注： 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指 m 2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；当 a 不是零向量时，线性无关 向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组 A
13、中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示 特别地， a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线 a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面,向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性 表示,向量组线性无关性的判定
14、（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线 性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A
15、 = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性 表示,向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线 性表示,例：试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性,例：已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性 解： 可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关,例：已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关 解题思路： 转化为齐次线性方程组的问题； 转化
