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1、,2,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,一、主要内容,3,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,4,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,5,常数项级数审敛法,6,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)
2、 比较审敛法,7,(2) 比较审敛法的极限形式,8,9,10,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,11,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,12,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,13,(3) 和函数,14,(1) 定义,6、幂级数,15,(2) 收敛性,16,推论,17,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,18,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,19,乘法,(其中,除法,20,b.和函数的分析运算性质:,21,7、幂级数展开式,(1) 定义,2
3、2,(2) 充要条件,(3) 唯一性,23,(3) 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,24,(4) 常见函数展开式,25,26,(1) 三角函数系,三角函数系,8、傅里叶级数,27,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,28,其中,称为傅里叶级数.,29,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),30,(4) 正弦级数与余弦级数,31,32,奇延拓:,(5) 周期的延拓,33,偶延拓:,34,35,二、典型例题,例1,解,36,根据级数收敛的必要
4、条件，,原级数发散,37,解,根据比较判别法，,原级数收敛,38,解,从而有,39,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,40,例,解,即原级数非绝对收敛,41,由莱布尼茨定理：,42,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,43,课堂练习:,1判别下列级数的敛散性:,提示: (1),当,故,利用比较判别法,可知原级数发散,而调和级数是发散的 ,时, 有,44,利用比值判别法 , 可知原级数发散 .,用比值判别法, 可判断级数,收敛，,因 n 充分大时,由 发散,知原级数发散 .,用比值判别法可知:,时收敛 ;,时发散 ;,时, 与 p 级数比较可知:,时收敛,时发散,从而原级数收敛 .
5、,45,2,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示: (1),时, 绝对收敛 ;,时, 条件收敛 ;,时, 发散 .,(2) 因各项取绝对值后所得强级数,收敛 , 故原,级数绝对收敛 .,46,因,单调递减 , 且,但,所以原级数条件收敛 .,由Leibniz判别法知级数收敛 ;,47,因,所以原级数绝对收敛 .,48,例3 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因, 存在 N 0 ,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 .,都收敛 , 证明级,数,当 n N 时,49,例4. 若级数,与,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则,与,收敛,收敛,收敛,收敛,50,证明级数 收敛。,证明：,从而数列 的极限存在,考察正项级数 ，设它的部分和为 ，则,51,因 存在，故 存在，,也就是正项级数 收敛。,由比较审敛法知原级数收敛。,52,53,54,例7,解,两边逐项积分,55,56,例8,解,57,58,例9,解,59,60,61,其收敛域为(-1，1)，和函数为 ，则,62,例11,解,63,64,65,和函数的图形为,66,例12,解,67,68,由上式得,69,例13,解,70,71,测 验 题,72,73,74,75,76,77,78,测验题答案,79,
