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1、第五节 应用(一),污染与工业发展的工业增长模型,莱斯利(Leslie) 种群模型,矩阵的特征值，特征向量的理论在微分方程和,差分方程理论中有重要应用，而自然科学，社会科,学和经济管理中的许多问题都可以用微分方程或差,分方程的数学模型来描述.,对于这些模型的分析、,计算，不仅可以定性地分析模型中各个因素的关系，,而且可以定量地确定各因素间的数量特征.,分析的,结果有助于决策者作出正确的判断，为科学、合理,的决策提供依据.,一、污染与工业发展的,工业增长模型,在本章第一节中，我们已介绍了污染水平与工,业发展的增长模型.,下面我们较详尽地讨论这一模,型.,设某地区在某年的污染水平和工业发展水平分,
2、别为 x0 和 y0 .,把这一年作为起点(亦称基年)，记作,t = 0 .,如果以若干年 (如 5 年) 作为一个期间，第 t 个,期间的污染和工业发展水平记作 xt 和 yt ，则 4.1,的例 1 中的模型可以写为,记,则 (4.15) 的矩阵形式为,t = At-1 ( t = 1, 2, , k ) (4.16),如果已知该地区基年的水平 0 = ( x0 , y0 )T , 利,用 t = At-1 就可以预测第 k 期 ( 如 k = 10 ) 时该地区,的污染程度和工业发展水平.,实际上，由 (4.16)，可,得,1 = A0 , 2 = A20 , , k = Ak0 (4.
3、17),如果直接计算 A 的各次幂，计算将十分烦琐.,如果利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，不但,使计算大大简化，而且模型的结构和性质也更为清,晰.,先计算 A 的特征值.,A 的特征多项式为,所以，A 的特征值为 1 = 1 , 2 = 4 .,对于特征值 1 = 1 ，解齐次线性方程组,( E A )X = 0,得 A 的属于 1 = 1 的一个特征向量 1 = (1 , -2)T .,对于特征值 1 = 4 ，解齐次线性方程组,( 4E A )X = 0,得 A 的属于 1 = 1 的一个特征向量 2 = (1 , 1)T .,且,1 , 2 线性无关.,如果基年(t = 0)时的水平
4、 0 恰等于 2 = (1 , 1)T,则 t = k 时， k = Ak0 = Ak2 , 由于 Ak 必有特征值,4k , 对应的特征向量仍是 2 = 0 .,于是,特别地，当 k = 10 时，可得 10 = (410 , 410)T .,这表明：尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此发展下去，环境的污染也将直接威胁人类的,生存.,如果基年 (t = 0) 时的水平 0 = (1 , 7)T , 则不能,直接应用上述方法分析.,然而，因为 1 , 2 线性无,关， 0 = (1 , 7)T 必可由向量组 1 , 2 唯一地线性表,示.,不难计算，这时,0 = -21 + 32,于是
5、,k = Ak0 = Ak( -21 + 32 ),= (-2) 1k 1 + 3 2k 2,特别地，当 k = 10 时，可得,10 = (-2 + 3 410 , 4 + 3 410 )T .,由上面的分析可以看出：尽管 A 的特征向量,1 = (1 , -2)T 没有实际意义(因为 1 中含有负分量) ,但任一具有实际意义的向量 0 都可以表示为1 , 2,的线性组合，从而在分析过程中， 1 仍然具有重要,作用.,二、莱斯利（Leslie）种群模型,莱斯利模型是研究动物种群数量增长的重要模,型.,这一模型研究了种群中雌性动物的年龄分布和,数量增长的规律.,在某动物种群中，仅考虑雌性动物的
6、年龄和数,量.,设雌性动物的最大生存年龄为 L (单位：年或,其他时间单位) .,把 0 , L 等分为几个年龄组，每,一年龄组的长度为 L / n :,设第 i 个年龄组的生育率为 ai ，存活率为 bi,( i = 1, 2, , n ) .,应注意 ai 表示第 i 个年龄组的每,一雌性动物平均生育幼体个数；,bi 表示第 i 个年龄组,中可存活到第 i + 1 年龄组的雌性数与该年龄组总数,之比.,在不发生意外事件(灾害等) 的条件下，ai , bi,均为常数，且 ai 0 ( i = 1, 2, , n ) , 0 bi 1 ( i =,1, 2, , n 1 ) .,同时，假设至少
7、有一个 ai 0,(1 i n) ，即至少有一个年龄组的雌性动物具有生,育能力.,利用统计资料可获得基年 ( t = 0 ) 该种群在各年,龄组的雌性动物数量.,记 xi(0) ( i = 1, 2, , n 1 ) 为,t = 0 时第 i 年龄组雌性动物的数量，就得到初始时刻,年龄分布向量,X(0) = ( x1(0) , x2(0) , , xn(0) )T,如果以年龄组的间隔 L/n 作为时间单位，记,并统计在 tk 时各年龄组雌性动物的数量 xi(k) ( i = 1,2, , n )，可得 tk 时的年龄分布向量,X(k) = ( x1(k) , x2(k) , , xn(k) )
8、T , k = 0 , 1 , 2, ,随着时间的变化，由于出生、死亡以及年龄的,增长，该种群中每一年龄组的雌性动物数量都将发,生变化.,实际上，在 tk 时，种群中第一年龄组的雌,性个数应等于在 tk-1 和 tk 之间出生的所有雌性幼体的,总和，即,x1(k) = a1x1(k-1) + a2x2(k -1) + + anxn(k -1) (4.18),同时，在 tk 时，第 i + 1 年龄组 ( i = 1, 2, , n 1 ),中雌性动物的数量应等于在 tk-1时第 i 年龄组中雌性,动物数量 xi(k -1) 乘以存活率 bi ，即,xi+1(k) = bixi(k -1) i
9、= 1, 2, , n 1 (4.19),综合上述分析，由 (4.18) 和 (4.19) 可得到 tk 与,tk-1 时各年龄组中雌性动物数量间的关系：,记矩阵,则 (4.20) 可写成,X(k) = LX(k-1) k = 1, 2, (4.21),其中 L 称为莱斯利矩阵.,由 (4.21)可得： X(1) = LX(0) , X(2) = LX(1) = L2X(0), .,一般，有,X(k) = LX(k-1) = LkX(0) , k = 1, 2, ,如果已知初始时年龄分布向量 X(0) ，则可以推算任,一时刻 tk 时，该种群中雌性的年龄分布向量，并以,此对种群的总量进行科学的
10、分析.,例 某种动物雌性的最大生存年龄为 15 年，以,5 年为一间隔，把这一动物种群分为 3 个年龄组, 0 , 5 ) , 5 , 10 ) , 10 , 15 ) .,利用统计资料，已知,初始时刻 t = 0,时，3个年龄组的雌性动物个数分别为 500, 1000, 500,则初始年龄分布向量和莱斯利矩阵为,于是，,为了分析 k 时，该动物种群年龄分布向量,的特点.,我们先求出矩阵 L 的特征值和特征向量:,L 的特征多项式为,由此可得 L 的特征值,不难看出 1 是矩阵 L 唯一正特征值，且 | 1 | | 2 |,| 1 | | 3 | ，因此矩阵 L 可与对角矩阵相似.,设矩阵 L
11、 属于特征值 i 的特征向量为 i ( i = 1,2, 3) .,不难计算，L 的属于特征值,的特征向,量为,记矩阵 P = (1 , 2 , 3 ) , = diag(1 , 2 , 3)，则,P-1LP = 或 L =PP-1,X(k) = LkX(0) = PkP-1X(0),于是,即,因为,所以,记列向量 P-1X(0) 的第一个元素为 c (常数)，则,上式可化为,于是，当 k 充分大时，近似地成立,这一结果说明，当时间充分长，这种动物中雌性,的年龄分布将趋于稳定：即 3 个年龄组的数量比为,并由此可近似得到 tk 时种群中雌性动物的,总量，从而对整个种群的总量进行估计.,本节内容
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