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1、第五章 相似矩阵及二次型,1 向量的内积、长度及正交性,向量的内积,定义：设有n 维向量 令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ， 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积 说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y ,定义：设有 n 维向量 令 则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积,向量的内积,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维
2、向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z
3、为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0,x, y = x1 y1 +
4、 x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： x, y = y, x 线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0； 当 x 0（零向量） 时， x, x 0 施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y,回顾：线段的长度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1, x2),O,P,O,若令 x = (x1, x2)T，则,若令 x = (x1, x2, x3)T，则,x, x = x12 + x22 +
5、 + xn2 0,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x | = | l | | x | ,向量的长度,定义：令 称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 | x | = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | l x
6、 | = | l | | x | 三角不等式： | x + y | | x | + | y |,x,y,x + y,y,向量的正交性,施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y = | x | | y | 当 x 0 且 y 0 时， 定义：当 x 0 且 y 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角 当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,x,y,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理：若 n 维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, , ar 线性无关
7、 证明：设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2 从而 k1 = 0 同理可证，k2 = k3 = = kr =0 综上所述， a1, a2, , ar 线性无关,例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交 分析：显然a1a2 解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2
8、a3 ，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0,得 从而有基础解系 ，令 ,定义： n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量， 则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基 例： 是 R4 的一个规范正交基,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,设 e1, e2, , er 是向量空
9、间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + + lrer 于是 特别地，若 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1, e2, , er,？,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 为 a2 在 b1 上的投影
10、，则 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，则 b1b2 下面确定l 的值因为 所以 ，从而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基 特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）,第二步：单位化 设 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1, e2, , er 是向量空间
11、 V 中的一个规范正交基,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第一步正交化，取,例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化 解：第二步单位化，令,例：已知 ，试求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 两两正交. 解：若a1a2 ， a1a3 ，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为 把基础解系正交化即为所求,（以保证 a2a3 成立）,定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA
12、= E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,即 A1 = AT，,于是 从而可得 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必
13、要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基.,例：正交矩阵,R4 的一个规范正交基,正交矩阵具有下列性质： 若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换 经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保 持不变），这就是正交变换的优良特性,表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数.,n 个变量 与
14、 m 个变量 之间的 关系式,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,返回,2 方阵的特征值与特征向量,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x
