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1、线性代数,复习提纲,张春晖 整理,第一章 行列式,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 , 全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数, 逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序
2、数, 计算排列逆序数的方法,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,定理,一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数, 对 换, n阶行列式的定义, n阶行列式的性质,）余子式与代数余子式, 行列式按行（列）展开,）关于代数余子式的重要性质, 克拉默法则,克拉默法则的理论价值,定理,定理,定理,定理,第二章 矩阵,扬州大学数学科学学院, 矩阵的定义, 方阵 列矩阵 行矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵, 同型矩阵和相等矩阵, 零矩
3、阵 单位矩阵,交换律,结合律, 矩阵相加,运算规律, 数乘矩阵, 矩阵相乘,运算规律,n阶方阵的幂, 方阵的运算,方阵的行列式,运算规律,转置矩阵, 一些特殊的矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,幂等矩阵,正交矩阵,对角矩阵,对合矩阵,上三角矩阵,主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵,下三角矩阵,主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵,伴随矩阵,定义, 逆矩阵,相关定理及性质,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分块矩阵, 初等变换的定义,换法变换,倍法变换,消法变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换
4、,反身性,传递性,对称性, 矩阵的等价,三种初等变换对应着三种初等矩阵, 初等矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ,（）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ,（）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元,例如, 行阶梯形矩阵,经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一
5、 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0,例如, 行最简形矩阵,对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0,例如, 矩阵的标准形,所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵,定义, 矩阵的秩,定义,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数, 矩阵秩的性质及定理,定理,9 初等矩阵与初等变换的关系,定理,推论,一、求矩阵的秩,二、求逆矩阵的初等变换法,三、解矩阵方程的初等变换法,典 型 例 题,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的
6、各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,一、求矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用,例 求下列矩阵的秩,解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵,注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形,二、求逆矩阵的初等变换法,例 求下述矩阵的逆
7、矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换,Take care ！,三、解矩阵方程的初等变换法,或者,例,解,第三章,扬州大学数学科学学院,线性代数,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量, 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定
8、义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组, 向量空间,定义, 子空间,定义, 基与维数,向量方程, 齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程, 非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,
9、解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系, 线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典 型 例 题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方
10、程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成极大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据极大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出极大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相
11、同的 线性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间,解,三、向量空间的判定,例 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组 的基础解 系，需要证明三个结论:,证明,注 当齐线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,第四章,线性代数,扬州大学数学科学学院,定义,向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质
12、：, 向量的长度,定义, 向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义, 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义, 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义, 方阵的特征值和特征向量, 有关特征值的一些结论,定理,定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量, 有关特征向量的一些结论,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反
13、性；(2)对称性； (3)传递性, 相似矩阵, 有关相似矩阵的性质,若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同,(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量,(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似, 实对称矩阵的相似矩阵,定义, 二次型,二次型与它的矩阵是一一对应的,定义, 二次型的标准形, 化二次型为标准形,定义, 正定二次型, 惯性定理,注意, 正定二次型的判定,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典 型 例 题,二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值,五、求方阵 的特征多项式,
14、六、关于特征值的其它问题,七、判断方阵 可否对角化,八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,一、证明所给矩阵为正交矩阵,证明,将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化,二、将线性无关向量组化为正交单位向量组,解一 先正交化，再单位化,解二 同时进行正交化与单位化,第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量,三、特征值与特征向量的求法,第一步 计算 的特征多项式；,第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部 特征值；,解 第一步 计算 的特征多项式,第三步 求出 的全部特征向量,解,四、已知A的特征值，求与A相关 矩阵的特征值,解,五、求方阵 的特征多项式,解,六、关于特征值的其它问题,方法一,方法二,方法三,解,七、判断方阵 可否对角化,解 (1) 可对角化的充分条件是 有 个互异的 特征值下面求出 的所有特征值,解 第一步 求A的特征值由,八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,解 第一步 将 表成矩阵形式,解,预祝各位考试顺利， 取得好成绩！,
