《线性代数教学课件作者张德全课件3.3矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教学课件作者张德全课件3.3矩阵的秩（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 矩阵的秩,矩阵秩的概念,求矩阵秩的方法,一、矩阵秩的概念,定义1,在,阶矩阵,中，任取,行与,列,），,（,位于这些行列交叉处的,个元，不,中所处的位置次序而得的,阶行列式，,改变它们在,称为矩阵,的,阶子式。,阶矩阵,的,阶子式共有,个。,定义2 设在矩阵,中有一个不等于0的,阶子式,，且所有,阶子式（如果存在的话）全等于0，,称为矩阵,的最高阶非零子式，数,称为矩,的秩，记作,。并规定零矩阵的秩等于0。,那么,阵,由行列式的按行（列）展开性质可知，在,中当所有,阶子式全等于0，所有高于,阶的子式也全为0，因此把,阶非零子式称为最高,的最高阶非零子式,的秩,就是,的非零子,阶非零子式
2、，并由此可知矩阵,可能不止一个。而,式的最高阶数。,【注】 （1）若矩阵,中有一个,阶非零子式，则,；若,中所有,阶子式全为0，则,（2）若,为,矩阵，则,。,。,（3）对于,阶矩阵,，若,，则,；若,，则,。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，,不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。,（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此,的子式与,的子式对应相等，从而,（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。,例4 求矩阵,和矩阵,的秩，其中,解 在,中，容易看出一个二阶子式,，而,的三阶子式只有一个,，经计算可知,，因此,。,是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知,的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角,
3、元的三阶行列式,是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此,二、求矩阵秩的方法,从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因 此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵 经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对 此作出肯定的回答。,定理1 若,，则,。即，矩阵的,初等变换不改变矩阵的秩。,证明 先证明：若,经一次行初等变换化为,，则,。为此,设,，且,的某个,阶子式,。,当,或,时，在,中总能找到与,相对应的,阶子式,，由于,或,或,，因此,，从而,。,当,时，分三种情形讨论：,（1）,中
4、不含第,行；,中同时含第,行和第,行；,中含第,行但不含第,行。,（2）,（3）,对于（1）（2）两种情形，显然,对应的,阶子式,，从而,；,中与,对情形（3），由,若,，则因,中不含第,行知,中,行的,阶非零子式，从而根据情形,；若,，则,。,。,有不含第,（1）知,也有,以上证明了若,经一次初等行变换变为,则,。由于,亦可经一次初等行变换,，故也有,。因此,。,，,变为,经一次初等行变换矩阵的秩不变，因而经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等 行变换不改变矩阵的秩。,若,经初等列变换变为,，,经初等行变换,，由上面证明知,。而,，,，因此,。,变为,总之，若,经有限次初等变换变为,），则,。,（即,【注】求矩阵,秩的方法：,行阶梯形，,行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。,例5 求矩阵,的秩。,解 因为,所以，秩(A),。,【注】 矩阵的秩有如下性质：,（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当,（即,（2）,）,（3）设A为,矩阵，则,。,，若,可逆时，,若,可逆时，,。,（4）,。,（5）如果,，则,( A ) +,( B ) n。,。,（6）,
