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1、第3章 线性方程组,3.1 本章的教学要求,1掌握 n 维向量的概念，理解向量组线性相关 与线性无关的概念。 2理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩 的概念，会求向量组的极大线性无关组，了解重要的 线性相关的判定理及有关结论。 3掌握线性方程组的相容性定理，掌握齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件。,4理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念， 5理解非齐次线性方程组的通解、特解及其线性方程组解的结构的概念。 6掌握用初等行变换求线性方程组的通解的方法。 重点：线性方程组相容性定理，用初等行变换求线性方程组的通解的方法。 难点：线性相关性的概念，齐次线性方程组的基础解系的概念。,3.2 本
2、章的主要内容,3.2.1 线性方程组 形如,(3.2.1),式中系数 （i = 1，2， ，m，j = 1，2， ，n），常数项 （i = 1，2， ，m）都是已知数，xj（j = 1，2， ，n）是未知数（也称元）。 当 （i = 1，2， ，m）不全为零时，称方程组（3.2.1）为非齐次线性方程组。 当 （i =1，2， ， m）全为零时，即,(3.2.2),称为齐次线性方程组。线性方程组（3.2.1）的矩阵表达式为 AX = B (3.2.3) 式中,其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵,3.2.2 增广矩阵 将线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B两块组成的一个新矩阵，此新矩阵
3、称为线性方程组(3.2.1)的增广矩阵，记作 (A B)，即,今后，我们将会看到增广矩阵(A B)在解决线性方程组的问题时，将起到一个重要的关键的作用，因为增广矩阵(A B)包含了线性方程组的所有信息。,3.2.3 基本未知数（元）、自由未知数（元） 将线性方程组(3.2.1)的增广矩阵(A B)，通过初等行变换化为阶梯形矩阵，求阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解时，把阶梯形矩阵首非零元所在列的未知数称为基本未知数（元），设有r个，其余未知数称自由未知数（元），共有nr个(n是未知数的个数)。 同解定理： 定理1 若将增广矩阵(A B)用初等行变换化为(U V)，则AX = B与UX = V是同
4、解方程组。,3.2.4 相容 若线性方程组(3.2.1)有解，称此线性方程组为相容的，否则称此线性方程组为不相容的。 相容性定理： 定理2 1. 对于线性方程组AX = B(B O)有解（相容） r(A) = r(A B); 2. 对于线性方程组AX = B(B O)无解（不相容） r(A) r(A B)。,定理 3 对于线性方程组AX = B， 若r( A)=r(A B) = r，则 1. 当 r = n 时，AX = B有唯一解( n 是未知数的个数)； 2. 当 r n 时，AX = B有无穷多解( n 是未知数的个数)。,例 3.2.1 判定下列方程组的相容性和相容时解的个数：,解 用
5、初等行变换将三个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，有,由此可知 (1) r (A) = r (A B) = 2 （=3），所以方程组(1)有无穷多组解； (2) r (A) = 2 r (A B) = 3，所以方程组(2)无解； (3) r (A) = r (A B) = 3 = ，所以方程组(3)有唯一解.,例 3.2.2 问 为何值时，方程组 无解？有唯一解？有无穷多解？ 解 利用初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，有 (A B) =,可知 r（A）= r (A B)= 因此，当 而 时，方程组无解； 当 时，方程组有唯一解； 当 且 时，方程组有无穷多解.,3.2.5 n维向量 把
6、有顺序的n个数 组成的一个序数组称为一个n维向量，记作,其中 称为n维向量 的第i个分量（或坐标）。,对 n 维向量而言，我们规定：n 维向量相等、相加、数乘与列矩阵之间相等、相加、数乘都对应相同。,3.2.6 线性组合、线性表出和组合系数 对于向量 如果有一组 数 ，使得 (3.2.4) 便说 是 的线性组合，或说 由 线性表出，且称这组数 为该线性组合的组合系数。,例3.2.3 判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，求出一组组合系数.其中 解 考虑以 为系数列向量，以 为常数项的线性方程组,解此线性方程组，运用初等行变换，得,阶梯形矩阵所对应的方程组为,显然方程组有解，所以 可以由 线性
7、表出. 由于方程组的一组解为 所以,3.2.7 线性相关与线性无关 对于向量组 ，若存在s个不全为 零的数k1，k2， ，ks ，使得 (3.2.5) 则称向量组 线性相关；否则就称向 量组 线性无关。,注意： 此定义中“存在一组”的意思只要能找到一组就可以，而不是对任意一组数都要求上述等式成立。另外特别强调这组数不全为零，它与线性表出(3.2.4) 的右边的那组数 可以无此限制的情形是不同的。即 可以全为零，也可以不全为零。 (3.2.4)只是用组合系数 来线性表出 而已。 不线性相关就是线性无关， 即只有系数 全为零，才能使得 成立。,这里的“只有，才能”意义是说，如果有一组全为零的数使
8、，并不能说证明 线性无关(因为很显然，一组全为零的数 总能使任何向量组满足 ，在这种情况下无法得出 线性无关的结论)，所以要证明向量组 线性无关，必须强调除了一组全为零的数外，其它的任何一组不全为 零的数 ，都有,以上是对线性无关定义的本质理解，但在实际应用中不好用，经常用的是与它等阶的另一定义，即向量组 对于一组数 , 如果有 ，就只有 全为零， 则称向量组 线性无关。,关于线性相关性的定理 定理4 向量组 线性无关 矩阵 A = ( )的秩为s。 定理5 当 s n时，n 维向量组 必线性相关。 定理6 向量组 线性相关 必线性相关。 定理7 向量组 线性无关 也线性无关。,定理8 向量组
9、 线性相关 其中至少有一个向量可由其余的向量线性表出。 定理9 初等行变换不改变列向量组的线性相关性。 定理10 若n维向量组 线性无关 在每个向量上添上m个分量，得到的n + m 维向量组 也线性无关。,例3.2.4 判断下列向量组是线性相关还是线性无关？,（1）,（2）,（3）,其中a，b，c，d各不相同 ；,(4),解 （1）A =,因为r(A) =3 = s，所以 线性无关；,（2）,因为r(A) =3，s = 4，所以r s，因此,线性相关；,（3）考虑相应的齐次线性方程组 此方程组的系数行列式是范德蒙行列式，易知，当a，b，c，d各不相同时,据克拉默法则知，齐次方程组只有零解. 从
10、而 线性无关； （4）由定理知，5个四维向量一定是线性相关的.,3.2.8 向量组的等价关系 设有两个向量组 , 如果向量组A中的每个向量都能由向量组B中的向量线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A能由向量组B线性表示，且向量组B也能由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。,向量组之间的等价关系具有下面三条性质： 1反身性：A组与A组自身等价； 2对称性：若A组与B组等价，则B组与A组等价； 3传递性：若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组与C组等价。,例 3.2.5 设有向量组 A 1,1,3， 1,3,1， 1,4,0 和向量组 B 1,2,2， 0,-1,1
11、求证: 向量组A和向量组B等价. 证 因为 这表明向量组A能由向量组B线性表示. 又因 这表明向量组B能由向量组A线性表示. 故 与 等价.,，,3.2.9 极大无关组 若向量组 S 中的部分向量组 S0 满足下述二个条件， 1. S0 线性无关； 2. S0 中每一个向量都是 S0 中向量的线性组 合。 则称部分向量组 S0 为向量组 S 的一个极大无关组。,3.2.10 向量组的秩 对于向量组 S ，其极大无关组所含向量个数称为向量组 S 的秩。 关于向量组的秩、极大无关组的定理 定理11 对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相同。 定理12 矩阵A的秩矩阵A列向量组的秩矩阵A
12、行向量组的秩。 定理13 向量组中每一个向量由极大无关组向量线性表出的表达式是唯一确定的。,例 3.2.6 设向量组 求向量组的秩及其一个极大无关组. 解 第1步 设矩阵A = ( ). 第2步 用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，则A所对应的阶梯形矩阵中非零行的数目即为向量组的秩. 具体计算如下：,，,，,，,，,A =,从A所对应的阶梯形矩阵中知，有3个非零行， 即, 的秩为3. 第3步 首非零元所在列对应的原来的向量组即为极大无关组. 从A所对应的阶梯形矩阵中知，有3个线性无关的向量，首非零元所在列对应的原来的向量分别为 ，故 为其向量组的一个极大无关组.,例 3.2.7 设 A = ( )
13、 = 求A列向量组的一个极大无关组，并求出其余向量由此极大无关组线性表出的表达式.,解 第1步 用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，则A所对应的阶梯形矩阵中非零行的数目即为向量组的秩. 具体计算如下： A,从A所对应的阶梯形矩阵中知，有4个非零行. 由此可知, 列向量组的秩为4. 第2步 首非零元所在列对应的原来的向量组即为极大无关组. 从A所对应的阶梯形矩阵中知，有4个线性无关的向量，首非零元所在列对应的原来的向量分别为 ,即,为一个极大无关组. 第3步 为求线性表达式，可逐个求解线性方程组. 令 即,，,，,，,解得 所以 同理可得,3.2.11 n维向量空间 设分量为实数的所有 n 维向量组成的集合为 S ，并且集合 S 满足下述二个条件： 1. 对于任意实数 k 和任意向量 ，都有 ; 2. 对于任意向量 , 都有 。 则称集合 S 为 n 维向量空间，记作 。,3.2.12 向量子空间（简称子空间） 若向量组是 中的一个子集，并且满足： 1. 对于任意实数k和任意向量 都是 （向量与数相乘在中是封闭的）； 2. 对于任意满足 , 都有 （向量的加法在中是封闭的）。 则称向量组为 的向量子空间，简称子空间。,例3.2.8 设向量组 为任意实数 是否为R 中的向量子空间？ 解 由于 2 所以向量组就不是R 中的向量子空间.,例3.2.
