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1、第一章 行列式,第一节 排列及其逆序数,引言 排列与逆序数,一、引言,我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组,（1）,当两个方程的未知数系数不成比例，即,时，,我们有,（2）,为方便记忆，我们引入二阶行列式,（3）,则（2）可以表示为,（4）,即当（1）的系数行列式,时，,（1）的解可以,用二阶行列式表示为（4）。,用高斯消元法，对三元一次线性方程组,（5）,我们也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式,（6）,则当（5）的系数行列式,（7）,时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为,（8）,对于n元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、,（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题 。为解
2、决 这一问题，我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n 阶行列式的预备知识，下面我们将简单介绍排列的逆 序数的概念。,二、排列与逆序数,1、排列与逆序数的定义,把n个不同元素排成一列，称为一个全排列或简 称排列（permutation）。用Pn表示n个元素所成全 排列的个数，则Pnn！。这门课程中我们关心的主 要是一个全排列里面元素的排列次序。 在这n！个不,同的全排列中，我们规定某一个排列的次序为标准顺序。对自然数，我们规定从小到大的排列顺序为标准顺序。,定义1 在一个排列中，当其中某两个元素的次 序与标准顺序中这两个元素的次序不一致时，我们 称这两个元素产生了一个逆序(an inverseo
3、rder)。 一个排列中所有的逆序数的总数称为这个排列的逆 序数(number of the inverse-orders)。,例如，排列1234的顺序为标准顺序，其逆序数为 0。在排列1324中，元素3和2的次序与它们在标准顺 序中的次序不同（标准顺序中应该是2排在3的前面，,因为2比3小），因此这两个元素产生了一个逆序,而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序中的次序一样，因此排列1324的逆序数为1。,实际上，根据逆序数的定义，我们可以得到逆 序数的计算方法如下：,设有n个自然数，,为这n个数的一个排,列。则对每个, 如果比,大且排在,前面的元素个,数为,，就称,在这个排列中的逆序数
4、为,，而,就是这个排列的逆序数。,例1 求排列4321576的逆序数。,解 4前面没有数，因此,3前面有1个数（即数字4）比它大，因此,2前面有2个数比它大，因此,1前面有3个数比它大，因此,5前面没有数比它大，因此,7前面没有数字比它大，因此,6前面有1个数比它大，因此,因此，这个排列的逆序数为：,例2 求自然数1,2，n组成的排列n (n 1) (n 2) 21的逆序数 。,解 由前面所述的逆序数的求法，我们可以得到此 排列的逆序数为,2、排列的奇偶性,定义2 如果一个排列的逆序数为奇数，则称此 排列为奇排列（odd permutation）；如果一个排 列的逆序数为偶数，则称此排列为偶排
5、列（even permutation）。,例如，上述例1中的排列即为奇排列。,定义3 在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为对换。,例如，在排列1234中对换2和3，得到新排列 1324。排列1234为标准排列，因此其逆序数为0，它 是一个偶排列，而排列1324的逆序数为1，这是一个 奇排列。实际上，我们可以证明，这个结论对于一般 的排列也是正确的，即有,定理1 在一个排列中，进行一次对换，排列改变奇偶性。,证：先证对换两个相邻元素的情形。,设排列为,逆序数为,。对换,和,后，排列为,，其逆序数为,。,显然排列中除了,和,，其它元素的逆序数保持不变，,只有,和,的逆序数
6、有可能发生变化。当,时，,的逆序数增加1而 的逆序数不变；当,时， 的,逆序数不变而,的逆序数减少1，总之，,或者,。因此，排列改变奇偶性。,其次，证明一般情况。,设排列为,后，,变为,。我们可以把它看成是先,m次对换相邻元素,与,变成,，再,对换,和,，然后作m,次对换相邻元素,与,，变成,。因此，这种情况下，对换,和,，相当于作了2m+1次相邻元素的对换，故它,改变排列的奇偶性。,由于标准顺序的排列的逆序数为0，由定理1我 们有：,推论1 奇排列变成标准顺序的排列须经过奇数次 对换；偶排列变成标准顺序的排列须经过偶数次对换。,由于n个不同元素的全排列的总数为n!，由定理1，我们还有：,推论2 在n个不同元素的全排列中，奇偶排列各,占一半，均为n!/2个。,证：设P为n个不同元素的全排列组成的集合，其 中A表示全体奇排列所成的集合， 而B为全体偶排列 所成的集合。显然PAB，而P的元素个数为n!。 设A的元素个数为r，B的元素个数为t。现在我们对A 中的r个排列（均为奇排列）都对换其第一、第二个元 素，则我们得到r个偶排列（即变成了B中的排列）， 故rt。同理，我们可以得到tr。即rt。,
