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1、第七章 空间解析几何与向量代数,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,第一节 向量及其线性运算,下页,上页,首页,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,下页,上页,首页,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,向量的加减法,二、向量的线性运算,下页,上页,首页,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减
2、法,下页,上页,首页,2.向量与数的乘法,下页,上页,首页,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,下页,上页,首页,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,下页,上页,首页,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,下页,上页,首页,例1 化简,解,下页,上页,首页,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,下页,上页,首页,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间点的直角坐标,下页,上页,首页,面,面,面,空间
3、直角坐标系共有八个卦限,下页,上页,首页,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,下页,上页,首页,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,四、利用坐标作向量的线性运算,下页,上页,首页,解,下页,上页,首页,由题意知：,下页,上页,首页,.空间两点间的距离,五、向量的模、方向角、投影,下页,上页,首页,特殊地：若两点分别为,下页,上页,首页,解,原结论成立.,下页,上页,首页,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,2.方向角和方向余余弦,下页,上页,首页,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标
4、表示式,下页,上页,首页,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,下页,上页,首页,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,下页,上页,首页,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,下页,上页,首页,解,下页,上页,首页,下页,上页,首页,.向量在轴上的投影与投影定理,下页,上页,首页,下页,上页,首页,证,于是,下页,上页,首页,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,下页,上页,首页,空间一点在轴上的投影,下页,上页,首页,空间一向量在轴上的投影,下页,上页,首页,关于向量的
5、投影定理（1）,证,下页,上页,首页,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,下页,上页,首页,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,下页,上页,首页,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,六、小结,空间直角坐标系,空间两点间距离公式,（轴、面、卦限）,下页,上页,首页,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,下页,上页,首页,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,下页,上页,首页,思考题解答,A:; B:; C:; D:;,下页,上页,首页,1、下列各点所在象限分别是：,一、填空题,练习题,下页,上页,首页,下页,上页,首页,下页,上页,首页,练习题答案,下页,上页,首页,
