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1、第五章 离中趋势测量法,主要内容：（1）变异指标； （2）全距和四分位差； （3）平均差、标准差和标准分； （4）绝对离势和相对离势；（5）偏度（及峰度）,所谓离中趋势，是指数列中各变量值 之间的差距和离散程度。离势小，平均数 的代表性高；离势大，平均数代表性低。,例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如下： A组：60 ，60，60，60，60 B组：58，59，60，61，62 C组：40，50，60，70，80 D组：80，80，80，80，80 数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数不同，离势可能相同。,变异指标如按数量关系来分有以下两类； 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离
2、势; 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;,主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。,主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。,变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。,第一节 全距与四分位差,1.全距(Range) R =Xmax - Xmin 例 求74，84，69，91，87，74，69这些数字 的全距。 解 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有 R =Xmax - Xmin91 - 6922,全距（R）：最大值和最小值之差。也叫 极差。全距越大，表示变动越大。,运
3、用上述方法计算左边数列的全距,对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限； 或最大组的上限减去最小组的组中值,优点： 缺点：,计算简单、直观。,（1）受极端值影响大； （2） 没有量度中间各个单位间的差异性，数据利用率低，信息丧失严重； （3）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。,2.四分位差(Quartile deviation) 第三四分位数和第一四分位数的半距。 避免全距受极端值影响大的缺点。,求下列两组成绩的四分位差： A: 78 80 82 8
4、5 89 87 90 86 79 88 84 81 B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81,请大家计算一下，看能否算对,第二节 平均差(Mean absolute deviation),要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量 值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计 算各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值 的算术平均数。（mean deviation) 1.对于未分组资料 A D= 2.对于分组资料 A D= 3.平均差的性质,在受抽样变动、极端值影响，处理不确定组距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其理论意义不易阐述。,例1
5、试分别以算术平均数为基准，求85，69， 69，74，87，91，74这些数字的平均差。 例2 试以算术平均数为基准，求下表所示数据 的平均差。,计算左边数列的平均差,第三节 标准差（standard deviation),各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，均方差，又称用S表示。 即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平均的优点。,1. 对于未分组资科,求72、81、86、69、57这些数字的标准差。,2. 对于分组资料,计算左边数列的标准差,标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异 程度的最佳测度。 （1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任 何数值为基准计算
6、的标准差要小。“最小二乘方”性质 各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们 对任何其他数偏差的平方和。 （2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受 抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组 距方面，缺点同算术平均数。 值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是 比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的 平方，它直接写成 。 也常被称为变异数。,3. 标准差的性质,4.标准分(standard score),以离差和标准差的比值来测定变量 与 的相 对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相 互比较，加、减、平均。,（1）Z是和X一一对应的变量值； （2）Z分
7、数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较； （3）Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。,Z分数也有标准正态变量之称。按Z值大小编制 出的正态分布表，其用途十分广泛。 Z分数的性质：,Z分数之和等于0,Z分数的算术平均数等于0,Z分数的标准差等于1，方差也等于1,第四节 相对离势,上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对离势。,1. 变异系数 绝对离势统计量与其算术平
8、均数的比率，用V表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。,全距系数 全距系数是众数据的全 距与其算术平均数之比，其计 算公式是 平均差系数 平均差系数是众数据的平 均差与其算术平均数之比，其 计算公式是 标准差系数 标准差系数是众数据的标 准差与其算术平均数之比，其 计算公式是,2. 异众比率 所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数 的比值，用V R来表示 其中： 为众数的频数； 是总体单位数,异众比率能表明众数所不能代表的那一部分变量值在总体中的比重。,例1：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多 （32%），求异众比率。某开发商根据这一报导，将房 屋的户型大部分都设计为适合三口之家居住的
9、样式和面 积，你认为如何呢？ 例2：设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的 两个抽样总体。成人组平均体重为65千克，全距为10千 克；婴儿组平均体重为4千克，全距为2.5千克。能否认 为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？ 例3：对一个群体测量身高和体重，平均身高为 170.2厘米，身高标准差为5.30厘米；平均体重为70千克， 体重标准差为4.77千克。比较身高和体重的离散程度。,3. 偏态系数,我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时， 、 、 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 与 的差来表示，即 为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相 对数，即偏态系数，用来表示,偏态系数是以标准差为单位的算术平均 数与众数的离差，其取值一般在0与3之间。 偏态系数为0表示对称分布，偏态系数为+3或-3则 表示极右或极左偏态。,讨论左边数列关于年龄的偏态和偏态系数,
