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1、第八章 常用统计分布,第一节 超几何分布,适用：小群体的两分变量。假定总体为 K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率 分布，它的数学形式是,2.超几何分布的数学期望值和方差,如果用 ，则有,例 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。 解 由题意可知：N8K3，NK5n5，代入(81)式，故概率分布如下：,由 ， ，代入(84)式、(85)式得 （1） （2）,3.关于超几何分布的近似,设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。 解 抽
2、到外国留学生人数X服从N1000、K10、n2的超几何分布，根据(81)式得,由于 000201，用二项分布近似 计算有 ，由(86)式得,两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在01时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。,第二节泊松分布,适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数 是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但 是发生的概率非常小。 泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量 X为样本内成功事件的次数。若为成功次数的期望值， 假定它为已知。而且在某一时空中成功的
3、次数很少，超过 5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀 有事件出现的次数）的概率分布为,泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图 形是非对称的，但随着的增加，图形变得对称；泊松 分布的数学期望和方差均为。,例 某城市50天交通事故的频数分布如 表所示，试求泊松 理论分布。,解 由资料知 查泊松分布表，得理论分布 将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是 满足泊松分布的。,第三节 卡方分布,卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表 检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，Xk，相互独立，且都服从同一的正态 分布N (，2)。那么，我们可以先把它们变为标
4、准正态变量 Z1，Z2，Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 （ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且,我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记 作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。,注意 写法的含义：它 表示自由度为k的卡方分布，当 其分布函数 时，其随机变量 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上卡方分布随机变量 的临界值。,关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临 界概率(01)，给出了满足下面概率式的 的值(参见 图)。,例 已知k5， 15，求临界概率。 解 查卡方分布表，在表中自由度为5的横
5、行中找到 与15最接近的数值是15086，得到的近似值为001。 由此可知 001,解 查卡方分布表(附表7)得,例 试求下列各值：,式中：2代表总体方差，自由度为nl。,2.卡方分布的性质 (1) 恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 为2k。 卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体 的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应 用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的 参数和无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布,所以，样本方差S 2落在33和
6、87之间的概率约为90。,3. 样本方差的抽样分布 例 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知26，求 样本方差S 2在3.3到8.7之间的概率。 解 已知n25，26，由 得,第四节 F 分布,F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量,服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。,注意 写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的F 分布，当其分布函数 时，其随机变量 F
7、的临界值(参 见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上F 分布 随机变量 F 的临界值。,我们把随机变量F的概率分 布称为F分布，其概率密度记 作 。本书附 表8，对不同自由度(k1，k2)及 不同的临界概率(01)， 给出满足下列概率式的F(k1， k2)的值(参见图)。,如果 和 是两个独立随 机样本的方差，样本来源于具有相同 方差2的两个正态总体，样本容量 分别为n1和n2，那么根据(822)式， 随机变量F 服从于自由度为(n11和 n21)的F分布。,例 试求下列各值：,解查F分布表(附表8)得,2. F分布性质,(1)随机变量F恒为正值， F分布也是一个连续的非对 称分布。 (2)分布具有一定程度的 反对称性。 (3) F分布的期望值与变异数(方差),
