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1、2019/6/21,1,现 代 通 信 系 统 原 理 第8章 差错控制编码,西 北 工 业 大 学 （2010.4）,2019/6/21,2,第8章 差错控制编码,8.1 引言 8.2 常用简单分组码 8.3 线性分组码 8.4 循环码 8.5 卷积码,2019/6/21,3,8.1 引言 8.1.1 信源编码与信道编码的基本概念 在数字通信系统中，为了提高数字信号传输的有效性而采取的编码称为信源编码；为了提高数字通信的可靠性而采取的编码称为信道编码。 1、信源编码,2019/6/21,4,2、信道编码（差错控制编码） 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督码元，利用这些冗余的码元，使原来
2、不规律的或规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信号；差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过程是否发生错误，或进而纠正错误。,2019/6/21,5,8.1.2 纠错编码的分类 （1）按照信道编码的不同功能，可以分为检错码和纠错码。 （2）按照信息码元和监督码元之间的检验关系，可以将它分为线性码和非线性码。 （3）按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。 （4）按照信息码元在编码后是否保持原来的形式，可以将它分为系统码和非系统码。 （5）按照纠正错误的类型不同，可以将它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。 （6）按照信道编码所采用的数学方法不同，可以将它分为代
3、数码、几何码和算术码。 随着数字通信系统的发展，可以将信道编码器和调制器统一起来综合设计，这就是所谓的网格编码调制。,2019/6/21,6,8.1.2 差错控制方式,2019/6/21,7,检错重发（ARQ）的优点主要表现在： （1）只需要少量的冗余码，就可以得到极低的输出误码率； （2）有一定的自适应能力； 某些不足主要表现在： （1）需要反向信道，故不能用于单向传输系统，并且实现重发控制比较复杂； （2）通信效率低，不适合严格实时传输系统。 混合纠错方式是前向纠错方式和检错重发方式的结合。,检错重发方式：,2019/6/21,8,8.1.2 纠错编码的基本原理 信道编码的基本概念： 码长
4、：码字中码元的数目； 码重：码字中非0数字的数目； 码距：两个等长码字之间对应位不同的数目，有时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距离的最小数值。 纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。,2019/6/21,9,分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错能力之间满足下列关系： （1）当码字用于检测错误时，如果要检测e个错误，则 d0 e+1 （2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t个错误，则 d0 2t+1 （3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误时（et），则 d0 t+e+1 编码效率Rc可以
5、用下式表示：,2019/6/21,10,8.2 常用简单分组码 8.2.1 奇偶监督码 可以表示成为（n，n-1）。如果是奇监督码，在附加上一个监督元以后，码长为n的码字中“1”的个数为奇数个；如果是偶监督码，在附加上一个监督元以后，码长为n的码字中“1”的个数为偶数个。 an-1+an-2+a1+a0 = 0,2019/6/21,11,奇偶监督码的编码可以用软件实现，也可用硬件电路实现。,如果码组B无错，BA，则M0；如果码组B有单个（或奇数个）错误，则M1。,2019/6/21,12,8.2.2 行列监督码 行列监督码又称水平垂直一致监督码或二维奇偶监督码，有时还被称为矩阵码。,二维奇偶监
6、督码适于检测突发错码。二维奇偶监督码不仅可用来检错，还可用来纠正一些错码。,2019/6/21,13,8.2.3 恒比码 恒比码又称等重码，该码的码字中1和0的位数保持恒定的比例。具体情况见表8-3。 目前我国电传通信中普遍采用3：2码，国际上通用的ARQ电报通信系统中，采用3：4码即7中取3码。,2019/6/21,14,8.3 线性分组码 8.3.1 基本概念 分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。 这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上。,2019/6
7、/21,15,线性分组码的主要性质如下： （1）任意两许用码之和仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性； （2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。 对偶校验时的监督关系。在接收端解码时，实际上就是在计算： S = bn-1+bn-2+b1+b0 若S0，则无错；若S1就认为有错。,2019/6/21,16,例如r 3，若取r = 3，则n = k+r = 7。假设S3、S2、S1三位校正字码组与误码位置的关系如表8-4。根据表8-4，可以构成如下关系式：,当r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示2r-1种误码图样。 如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的
8、n种可能，则要求：,2019/6/21,17,S1= a6+a5+a4+a2 , S2= a6+a5+a4+a2 , S3= a6+a4+a3+a0 进而得到下面的方程组形式：,接收端收到每个码组后，计算出S3、S2和S1，如不全为0，则可按表8-4确定误码的位置，然后予以纠正。不难看出，上述（7，4）码的最小码距dmin3。,2019/6/21,18,上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 ，其中,8.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G 将（7，4）码的三个监督方程式可以重新改写为如下形式：,2019/6/21,19,这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边在加上一个kk的单位矩阵，就形成了一个新矩
9、阵G：,也可以用矩阵形式来表示：,或表示成为：,2019/6/21,20,这里G称为生成矩阵，利用它可以产生整个码组：,2019/6/21,21,则接收端利用接收到的码组B计算校正子： S=BHT=(A+E)HT= AHT + EHT = EHT 因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。,8.3.3 校验子S 设发送组码A，在传输过程中有可能出现误码，这时接收到的码组为B。则收发码组之差为：,其中：,2019/6/21,22,8.3.4 汉明码 汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有以下特点： （1）最小码距dmin3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之
10、间满足关系式： 。 通常二进制汉明码可以表示为：,2019/6/21,23,（7，4）系统汉明码的编码器和译码器电路：,2019/6/21,24,2019/6/21,25,8.4 循环码,循环码是线性分组码的一个重要子集，是目前研究得最成熟的一类码，它有许多特殊的代数性质。 8.4.1 循环码的特点 循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。,2019/6/21,26,利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码 A=(an-1 an-2 a1 a0) 可以将它的码多项式表示为：,若一个整数m可以表示为:,则
11、在模n运算下，有mp（模n），同样对于多项式而言：,2019/6/21,27,则可以写为：F(x)R(x) （模N(x)）。 在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用码组，则在按模xn+1 运算下，xkA(x)亦是一个许用码组。例如，,其对应的码组为0101110，它正是表8-7中第3码字。,2019/6/21,28,8.4.2 循环码的生成多项式和生成矩阵 循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x)具有以下特性： （1） g(x)是一个常数项为1的 r=n-k 次多项式； （2） g(x)是xn+1的一个因式； （3）该循环码中其它码多项式都是g(x
12、)的倍式。,2019/6/21,29,为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，,因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可以确定。,显然，上式不符合 形式，所以此生成矩阵不是典型形式。,2019/6/21,30,利用循环码的特点来确定监督矩阵H： 由于（n,k）循环码中g(x)是xn +1的因式，因此可令：,监督矩阵表示为：,2019/6/21,31,8.4.3 循环码的编、译码方法 1、编码过程 首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x) ，然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式A
13、(x)。下面就将以上各步处理加以解释： （1）用xn-k乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个“0”。,2019/6/21,32,（2）求r(x)。由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，也就是：,上式等效于：,这样我们就得到了r(x)。 （3）编码输出系统循环码多项式A(x)为：,2019/6/21,33,上述三步编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现。,2、译码过程 循环码的译码可以分三步进行： （1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项式S(x)；,2019/6/21,34,（2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)； （3）将错误图样E(x
14、)与B(x)相加，纠正错误。,2019/6/21,35,8.5 卷积码,卷积码中编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，而且也与前面（N-1）段的信息有关，编码过程中相互关联的码元为nN个。因此，这N段时间内的码元数目nN通常被称为这种码的约束长度。 由于与前面m段规定时间内的信息位有关，这里的mN-1通常用（n，k，m）表示卷积码 。,2019/6/21,36,例如：卷积码的n = 2，k = 1，m = 2，因此，它的约束长度nN = n(m+1) = 23 = 6。,2019/6/21,37,假如输入的信息为D = 11010，为了使信息D全部通过移位寄存器，还必须在信息位后面加3个零。表8-9列出了对信息D进行卷积编码时的状态。 描述卷积码的方法：图解表示和解析表示。 卷积码的译码方法可分为代数译码和概率译码两大类。,
