《现在数值分析课件科大现代数值分析06非线性方程求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现在数值分析课件科大现代数值分析06非线性方程求解（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 牛顿法 /* Newton - Raphson Method */,原理：将非线性方程线性化 Taylor 展开 /* Taylors expansion */,取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:, 在 x0 和 x 之间。,将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,线性 /* linear */,只要 f C1，每一步迭代都有f ( xk ) 0， 而且 ，则 x*就是 f 的根。,4 Newton - Raphson Method,定理,（收敛的充分条件）设 f C2a, b，若 (1) f (a) f (b) 0； 则Newtons Method产生的
2、序列 xk 收敛到f (x) 在 a, b 的唯一根。,有根,根唯一,产生的序列单调有界，保证收敛。,定理,（局部收敛性）设 f C2a, b，若 x* 为 f (x) 在a, b上的根，且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newtons Method产生的序列 xk 收敛到x*，且满足,4 Newton - Raphson Method,证明：Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则,收敛,由 Taylor 展开：,只要 f (x*) 0，则令 可得结论。,在单根 /*simple root */ 附近收敛快,4 Newton - Rap
3、hson Method,注：Newtons Method 收敛性依赖于x0 的选取。,x*,4 Newton - Raphson Method, 重根 /* multiple root */ 加速收敛法：,Q1: 若 ，Newtons Method 是否仍收敛？,设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 。,因为 Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代， 其中 ，则,A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。,Q2: 如何加速重根的收敛？,A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。,令 ，则 f 的重根 = 的单根。,4 Newton - Raphson Me
4、thod, 正割法 /* Secant Method */ ：,Newtons Method 一步要计算 f 和 f ，相当于2个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ，可少算一个函数值。,切线 /* tangent line */,割线 /* secant line */,切线斜率 割线斜率,需要2个初值 x0 和 x1。,收敛比Newtons Method 慢，且对初值要求同样高。,4 Newton - Raphson Method, 下山法 /* Descent Method */ Newtons Method 局部微调：,原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小
5、，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。,注： = 1 时就是Newtons Method 公式。 当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。,4 Newton - Raphson Method,Algorithm: Newtons Descent Method Find a solution to f (x) = 0 given an initial approximation x0. Input: initial approximation x0; f (x) and f (x); minimum step size of xmin; tolerance TOL1 for
6、 x ; tolerance TOL2 for ; maximum number of iterations Nmax. Output: approximate solution x or message of failure. Step 1 Set k = 1; Step 2 While ( k Nmax) do steps 3-10 Step 3 Set = 1; Step 4 Set ; /* compute xk */ Step 5 If | x x0 | TOL2 then GOTO Step 4 ; /* compute a better xi */ Step 9 Set x0 =
7、 x0 + xmin ; /* move forward anyway to avoid deadlock */ Step 10 Set k +; Step 11 Output (Method failed after Nmax iterations); STOP. /* unsuccessful */,计算量未见得减小,4 Newton - Raphson Method, 求复根 /* Finding Complex Roots */ Newton 公式中的自变量可以是复数,记 z = x + i y, z0 为初值，同样有,设,代入公式，令实、虚部对应相等，可得,迭代法的收敛阶 /* Or
8、der of Convergence */, 一般 Fixed-Point Iteration 有 ，称为线 性收敛 /* linear convergence */，这时 p = 1，0 C 1。,注：超线性收敛不一定有 p 1。 例如 xn = 1/nn 超线性收敛到0，但对任何 p 1 都没有 p 阶收敛。, Aitken 加速有 。 称为超线性收敛 /* superlinear convergence */。,4 Newton - Raphson Method, Steffensen 加速有 p = 2，条件是 ，称为平方收敛 /* quadratic convergence */。, Newtons Method 有 ,只要 ， 就有 p 2。重根是线性收敛的。,Q: 如何实际确定收敛阶和渐进误差常数？,证明：,4 Newton - Raphson Method,例 /* Taylors expansion */ 为求方程 在(2,3)内的根,现将方程改为下列等价的形式,且建立了相应的迭代格式. 试分析每一种迭代格式的收敛性,任选其中一种收敛的迭代公式进行计算其根,要求 . 解 序列 收敛,4 Newton - Raphson Method,计算结果：,序列 不收敛,
