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1、第三节 线性系统的BIBO稳定性,在工程上，有时使用BIBO稳定性比较方便，因此这里做一简单介绍，以便在工程应用时有较大的选择余地。 4.3.1数学准备 线性 设H为线性算子，当且仅当对于任何输入u1和u2，以及任何实数a1和a2，系统在零初始状态下的响应为 H(a1u1a2u2)a1Hu1 a2 Hu2 (4-3-1) 时，称系统为线性的，否则该系统为非线性的。 若有一个输入和一个输出的系统是线性的，则 式中，g(t, )是系统的冲激响应。对上式作Laplace变换，有 y(s)G(s)u(s) (4-3-3),第三节 线性系统的BIBO稳定性,因果性 系统t时刻输出不取决于t以后的输入，而
2、仅与t以前输入有关，则称系统具有因果性。考虑到因果性，式(4-3-2)可写成 松弛性 一个系统在t0时刻是松弛的，则必要且只要输出 y(t0, ) 仅由u(t0, )唯一确定。 由 若y(t0)0，则有,第三节 线性系统的BIBO稳定性,即一个在t0时刻松弛的系统其输入-输出关系为 y(t0, )H u(t0, ) (4-3-6) 对于线性系统，系统在t0时刻松弛的条件为 y(t0)Hu(, t0)0 (4-3-7) 故具有因果性、松弛性、线性系统的输入-输出关系为 时不变性 设Qa为移位算子（移位距离为a），则时不变性的定义如下： 一个松弛系统是时不变的，则必要且只要 HQauQaHu (4
3、-3-9) 成立（u为任意输入，a为任意实数）。否则，系统称为时变系统。上式也可以写成 HQauQay (4-3-10) 即输入移动a秒后，所得输出波形不变，仅在时间上移动a秒。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,对于线性时不变系统，其冲激响应仅取决于t和之差，即 g(t, )g(t) (4-3-11) 式中， t和均为任意值。所以对满足线性、因果性、松弛性、时不变性的系统，其输入-输出关系为 不失一般性，设t0 0，则,第三节 线性系统的BIBO稳定性,4.3.2 线性时变系统 先考虑单变量系统。对于线性、松弛、因果系统的输入输出描述为 其中g(t, )是系统的冲激响应。 从输入-输出端对系
4、统定性研究时，所考虑的是：若输入具有某种性质，在什么条件下输出亦具有该性质？例如，若输入是有界的，即对所有(, )中的t，有 |u(t)|k1 (4-3-15) 则系统在什么条件下存在常数k2，使对于(, )中的t，输出y满足 |y(t)|k2 前已指出，仅当系统松弛时，才使用输入-输出描述，因此，输入-输出描述的稳定性仅适用于松弛系统。 定义4-3-1：一个松弛系统是BIBO（有界输入-有界输出）稳定的，则必要且只要对于任何有界输入，其输出是有界的。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,应该指出，在松弛性假定下，是BIBO稳定的系统，而在其非松弛时，可能不再是BIBO稳定。以此可说明“松弛”条
5、件的重要性。 定理4-3-1：由 描述的系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一个有限数，使对于(, )中的任意t，有 证明：充分性 设u(t)为任意输入，且对于所有(, )中的t，有|u(t)|k1，则对于所有t，有,第三节 线性系统的BIBO稳定性,必要性 用反证法。设系统(4-3-14)BIBO稳定，但式(4-3-16)不成立，即对任意正数k0，总tk有存在，使得 取有界控制输入u(t)1，因 上式说明有界输入下得到y(t)的是无界的，这一矛盾表明必要性成立。 证毕。 上述结论可推广到多变量系统，设具有l个输入m个输出的系统由下式描述 其中u是l1输入向量，是m1输出向量，g(t,)是系
6、统的ml冲激响应矩阵。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,gij(t, )是第j个输入和第i个输出之间的冲激响应。对于多变量系统，有 定理4-3-2：由 描述的松弛多变量系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一有限数k，使对于所有t，有 或g(t, )中每一项有,第三节 线性系统的BIBO稳定性,证明：充分性 设输入有界，即对任一u(t)，存在uM0，都有 | u(t) |uM，由式(4-3-19a)可得 从而输出有界，故系统BIBO稳定。 必要性 为了证明定理条件的必要性，先设向量的范数为欧几里德范数，则有 而矩阵的范数定义为上述向量范数的诱导范数，则有 现在用反证法来证明定理4-3-2的必
7、要性。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,若系统(4-3-17)式是BIBO稳定，但式(4-3-19a)不成立，即对任意的正数k，总tk有存在，使得 由向量范数定义，有 其中v为辅助向量，满足|v|1。取有界控制输入|u|1，因 记 则有 由矩阵范数定义，有,第三节 线性系统的BIBO稳定性,则 上式说明有界输入下得到的y(t)是无界的。这一矛盾表明必要性成立。 证毕。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,4.3.3 线性定常系统 设线性、因果、时不变、松弛单变量系统有如下输入-输出描述 则由定理4-3-1可得推论4-3-1 推论4-3-1：由(4-3-20)式描述的松弛单变量系统BIBO稳定，
8、则必要且只要对于某常数k有 即函数g绝对可积。若g在0, 域上绝对可积，则随a有 定理4-3-3：设一松弛单变量系统，其输入u和输出y之间有如下关系,第三节 线性系统的BIBO稳定性,若 对于某常数，可有如下结论： 若u是具有周期T的周期函数，即对所有t0有u(t)u(tT)则输出y必为具有同一周期的周期函数。 若u有界且趋于常量，则输出亦将趋于常量。 若u具有有限能量，即 则输出也具有有限能量，即存在一依赖于k1的有限数k2，使有,第三节 线性系统的BIBO稳定性,证明： 我们将证明，对于所有t0，若u(t)u(tT)则随着t有y(t)y(tT)，显然 和 用(4-3-25)式减去(4-3-
9、24)式，并取绝对值，得 其中 。由(4-3-21)式知，随着t，|y(tT)y(t)|0，或随着t ， y(tT)y(t) 。 考虑到,第三节 线性系统的BIBO稳定性,设 ，则t t1时 由(4-3-21)式知，随着t1，上式趋近于零。因此当t1足够大时，(4-3-26)式就能用下式近似 因u(t)趋于常量，故若t比t1大得多，则对于所有0, t1中的， u(t)就近似等于一个常数，例如a。因此，对于所有tt1 0，(4-3-27)式可表示为 与t无关，趋于常量。 设在绝对平方可积函数构成的一个线性空间上，定义如下的范数和内积,第三节 线性系统的BIBO稳定性,根据许瓦兹（Schwarts
10、）不等式 下面开始证明。设 上式可写成 利用Schwarts不等式，上式可变成,第三节 线性系统的BIBO稳定性,现考虑 因已假定u具有有限能量，故存在k1，使有 因此(4-3-32)式就意味着 由此可知，若g在(0，)域上绝对可积，且若u具有有限能量，则输出y也将具有有限能量。 证毕。 线性定常系统一般是用传递函数描述的，因此也可以用传递函数来研究稳定性条件。但g(s)必须是有理函数。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,定理4-3-4：由有理函数g(s)描述的松弛变量系统BIBO稳定，则必要且只要g(s)的所有极点在开左s平面上，或者说， g(s)的所有极点具有负实部。 证明：若g(s)是有
11、理函数，可以利用部分因式表示将其展开为有限个形如 的项之和，和式中也可能包含有常数项。其中，i是g(s)的极点。因而g(t)是有限个 项的和，和式中也可能包含有函数项。容易证明，当且仅当i具有负实部时， 绝对可积，故可断定，当且仅当g(s)的极点具有负实部时，松弛系统BIBO稳定。 证毕。 上述结论可推广到多变量情况,第三节 线性系统的BIBO稳定性,推论4-3-4：由 描述的多变量系统BIBO稳定，则必要且只要存在一有限数k，使对于g(t)的每一项有 若g(t)的Laplace变换G(s)是有理函数矩阵，则系统的BIBO稳定条件也可用G(s)来描述。 定理4-3-5：一松弛多变量系统由y(s
12、) G(s)u(s)描述，其中G(s)是有理函数矩阵。若该系统BIBO稳定，则必要且只要G(s)的每一元的所有极点都具有负实部。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,4.3.4 状态方程描述 设n维、线性、时变系统的状态方程为 E： 其中，x是n1状态向量，u是l1输入向量，y是m1输出向量，A、B和C分别为nn、nl和mn矩阵，并假定A、B和C的每一项均为（, ）域中t的连续函数。由于直接传递部分在稳定性研究中不起任何作用，故方程(4-3-36)中略去了直接传递部分（即D0）。 状态方程(4-3-36a)的响应总能分解成零输入响应和零状态响应 其中零输入响应的稳定性就是我们研究过的李亚普诺夫稳
13、定性。 现考虑零状态响应稳定性。方程E在t0时刻零初始状态的响应为,第三节 线性系统的BIBO稳定性,其中， 是E的冲激响应矩阵。这里应用范数的概念将定理4-3-2重新表述如下： 定理4-3-6：动力学方程E的零状态响应为BIBO稳定，则必要且只要对于任何t0且tt0存在一个有限数k，使有 上式中范数是根据u的范数定义的。在任何瞬时，|u(t)|可选 为 、 或 。相应于这些范数，|C(t)(t,)B()|的值不同。就稳定性而言，可采用任一范数。,第三节 线性系统的BIBO稳定性,在工程上我们更关心渐进稳定，因此有下面一些定理（不证明） 定理4-3-7：由式(4-3-36)描述的动力学系统E，
14、若在（，）域上B和C有界，则零状态的渐进稳定就意味着零状态响应的BIBO稳定。 定理4-3-8：由式(4-3-36)描述的动力学系统E，当矩阵A、B和C在（，）域上有界，且系统可控并可观测，如若E的零状态渐进稳定（在零输入响应下），则必要且只要零状态响应是BIBO稳定的。 对于零输入稳定，我们有下述直接判定定理。 定理4-3-9：设(t, t0)为系统E的状态转移矩阵，则系统E有 稳定的充要条件是(t, t0)在t0, )上有界，即存在正常数k(t0)，使得 |(t, t0)|k(t0) t t0 一致稳定的充要条件是(t, t0)在t0, )上一致有界，即存在与t0无关的正常数k，使得 |(t, t0)|k t t0,第三节 线性系统的BIBO稳定性,渐进稳定的充要条件是 一致渐进稳定的充要条件是，存在与t0无关的常数k1和k2，使得 关于李亚普诺夫稳定性与BIBO稳定性的关系，有下述定理。 定理4-3-10：若线性定常系统是渐进稳定的，则其必是BIBO稳定的。 定理4-3-11：如果线性定常系统为能控能观的，则其李亚普诺夫稳定与BIBO稳定是等价的。,
