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1、1,第十一次课、拍频波和光波的分析,内容,一、不同频率的两个单色波叠加拍频波 二、周期性光波的分析 三、波群的分析 四、光波的傅立叶分析,2,一、不同频率的两个平面单色波的叠加,一)、拍频现象 二)、拍频现象的应用 三)、群速度,3,一) 、拍频现象,为简单起见，只考虑一维情况。 假设下述两个振幅相同的沿着z轴方向传播的简谐波： (1a) (1b),叠加后合成波波函数为：,(2),4,这个合成波的振幅项不仅仅是空间z的函数； 而且还是时间t的函数， 所以驻波的特性不再存在。 是一个振幅受调制的行波。,(2),借用无线电的术语，,被称为“调制波”；其角频率为,复指数项叫做“载波”，其角频率为,5
2、,(2),拍频,实际上仪器所测量的是在某个时间间隔内的平均能流密度I。,(3),在这种情况下，可以用仪器直接测量出调制波的振动。,只要,接收器的输出信号的时间圆频率就等于两分量光波的圆频率之差，这样的频率称为拍频。 这种由两个交变物理量产生一个差频物理量的现象称为“拍频现象”。,6,拍频的形成,原波形,合成波形,7,拍频现象的价值,它把高频信号中的频率信息和位相信息转移到差频信号之中，使它们由难以测量变得容易测量。,时间拍频和空间拍频,按照上述定义，拍频现象是指产生时间差频的现象。 但是我们在第五次课学习了空间频率这个概念后，拍频的定义可以从时间域推广到空间域，即拍频现象也可以是指产生空间差频
3、的现象。 空间拍频,例如：当两块尼龙纱互相重叠时，便能看到一些比织物经纬线结构稀疏得多的明暗花纹。 这种花纹的“空间频率”等于两层纱各自空间频率之差。通常称这些花纹为“莫尔条纹”或“云纹”。 这种产生云纹的现象便是一种空间拍频现象。,8,二) 、拍频现象的应用,(一)、激光器率稳定性的检测和控制,发射的激光频率有一点误差。,发射的激光频率已知并很稳定,分束器BS,测定拍频，调整L2的参数，使其发光稳定。,图1 两束激光的拍频的测量,激光器L1,待测激光器L2,接收器R,9,(二)、光学外差干涉法,光学外差干涉法的思想来源于(2)式和(3)式：,图2 光学外差测量示意图,(2),(3),光学外差
4、技术既能发挥高频波的优势(例如采集被测量的精度)，又有利于用对低频波的检测技术。 目前，各种类型的激光外差干涉仪广泛应用于精密测量长度和振动。,10,y,2,1,x,图3 (a),=1,图3 (b),|=21sin(/2) (6), =2-1,图3(c),(三)、莫尔条纹,11,12,13,14,15,三)、群速度,群速度是研究复杂波在色散媒质中传播时产生的重要概念。 为了突出复杂波的时间频率组成特点，前面的讨论都假定各简谐平面分量光波都沿同一方向传播，这样可以当作一维波问题处理。 由此得到的结论与方法不难扩展到更加复杂的三维维复杂波的情况。,1、拍频波的复杂性 2、载波与调制波的“位相速度”
5、定义 3、相速和群速的求法,16,(2)式所表示的波是由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成的，是一种复杂波。 考虑实际情况，显然它是较为简单的一维复杂波。鉴于拍频的实际价值和为方便起见，可以称(2)所表示的波为“拍频波”。 因为是个复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频波。 这只是总的原则。 而，对于拍频波上某些特殊位置的传播速度，例如，电场强度为零的位置的传播速度，或者某确定光强值位置的传播速度，对于这些，我们仍然可以进行特别地研究和分析。,1、拍频波,(2),17,调制波,2、载波与调制波的“位相速度”,(2),载波,定义：载波零位相点(或位相值为其它数值的点)的传播速度就是载
6、波的位相速度；,定义：调制波光强为确定数值的点的传播速度就是调制波的“位相速度”。 与定义载波的位相速度 的道理相同,(3),18,3、求法、群速度和相速度的定义,第五次课曾经讲过求位相速度的公式：,称为拍频波的位相速度(相速度),关于群速度的说明,1、群速度是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频波能量的传播速度。 如果能测出调制波的波长和 ，便可以得到 。,载波位相速度：,(7),称为拍频波的群速度,调制波位相速度,(8),2、当 很小时，(8)式可以写成：,(9),19,根据前面的讨论，我们知道，行波、驻波、拍频波、椭圆偏振波等都是由简单的简谐平面波叠加而成的，它们相对来说是复杂的
7、，所以我们说简单的简谐平面光波可以叠加形成复杂的光波。 这使我们想到，一个复杂的光波能够被分解成一系列的简单的简谐平面光波，只是其中的某些光波的权重大些，其它光波的权重相对小些或者为零，于是就出现光波分析的问题。 实际中存在的光波都是复杂的，如何将复杂波分解成简单平面波的叠加就是光波分析的任务。,二、周期性光波的分析,20,周期性光波,就是在接连着的相等的时间和空间内的振动能够完全重复一次的光波。,图1一种典型的周期性光波,周期性光波的分析可以应用数学上的傅立叶级数定理进行。 相关内容在第三次课讲过。,21,(3-8),周期为T0的函数 f(x) 的傅立叶级数可以用复数形式表示为：,傅立叶系数
8、cn：,(3-9),简谐波,表明：周期函数f(x)可以分解为一系列频率为fn，复振幅为cn的简谐波。,空间周期,周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。,空间角频率,22,三、波群的分析,波群,所谓波群，其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即变为零。 所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因而不具有周期性。,实际中的原子所发射的光波即为波群。 发光原子一次辐射发出的光波动可以用如图2所示的波列来近似描述，原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以实际普通光源发出的光波不是理想单色波。,23,波群的分析利用傅立叶积分进行,一个非周期函数f(z)(可看成空间周期趋于)可以用积分：,(7),
9、来表示。,(8),称为函数f(z)的傅立叶变换。,傅立叶积分的定理,其中：,如果波群由非周期函数f(z)来表征，我们也可以对它利用(7)式来进行傅立叶分析，分析的结果是，这类波包含无限多个振幅不同的简谐分波，两个所谓相邻的分波的频率相差无穷小，如果以频谱图解来表示，则将是一条振幅空间角频率的连续曲线，我们称之为连续频谱，所以波群可分析成无限多个振幅随空间频率分布(频谱)如(8)式所示的简谐分波，反之，我们说波群能够由这些单色波合成。,特点：,1、分波的频率相差无穷小； 2、连续频谱。,24,四、光波的傅立叶分析,1、实际光源发出的光波是复杂的，其时间参量里包含各种时间频率，其空间分布上很复杂，
10、其等相面具有复杂的形状。 2、研究复杂光波的有效方法是将它分解为一系列简谐平面波的线性组合，分析各个简谐平面波成分传播规律，最后综合出复杂光波的传播规律。 3、凡是符合傅立叶变换存在条件的一切复杂波，都可以用傅立叶变换作为分解的手段。 4、对复杂波分解的方法步骤是： 首先，将空间各考察点处的振动分解为各种时间频的简谐振动的线性组合，即时间域分解； 然后，将每个简谐波分解为一系列不同空间频率的平面波的线性组合，即空间域分解。 最后，将复杂波表示为一系列简谐平面波的线性组合。,25,(一)、时间域分解,设A(x, y, z, t)表示一个复杂波在考察点(x, y, z)处的振动函数，通过时间域的傅
11、立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱 。,(9),于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：,(10),表明，复杂波A(x, y, z, t)可以分解为一系列频率为，振幅密度为 的简谐波的叠加。,即：,26,(10),但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。,对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。,设简谐波复振幅 的空间频谱为,(二)、空间域的分解,看作简谐波之一,(11),(12),表明，复杂波 被分解为一系列空间频率为(fx、 fy、 fz)，振幅密度为 的简谐平面波的叠加。,27,三个空间频率分量(fx, fy, fz)并不
12、独立，它们和时间频率之间满足约束关系。,这样计算 的空间频谱 时只需进行二维的傅立叶变换。,对复杂波进行空间分解时有两点必须注意：,首先,视作时间域简谐波,看作常数,时间因子，可暂时不考虑,其次,(13),如果已知复杂波在(x, y)平面上的振幅分布 时，只需求出 ，分解出各个空间频率为(fx, fy)的平面波分量即可。,28,A(x, y, z, t),综合上述两步时间和空间分解过程，可将复杂波表示为：,(14),在空间-时间域描述波动,在空间-时间频率域内描述波动行为,在空间频率域-时间频率域内描述波动行为,被称做波函数A(x, y, z, t)在确定空间考察点(x, y, z)的时间频谱函数,被称做波函数A(x, y, z, t)的空间-时间频谱函数,能够描述同一个波动行为； 三个函数，知道其中任何一个，便可以通过傅立叶变换或逆变换求出其它两个。,作业：p81，2.20(1)；p3701，6.16.6，6.7(思考题),
