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1、山东大学数学学院,现代数值分析,包 芳 勋,教材 (Text Book) 现代数值分析 蔺小林、蒋耀林 编著（国防工业出版社）,参考书目 (Reference), Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社), Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等
2、教育出版社）,工程数值分析 王立秋等编著（山东大学出版社） 工程数值分析题解,学习方法,1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系,Introduction,研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等,数值分析 能够做什么？,一、 计算机解决实际问题的步骤 建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算, 现代数值分析是一门内容丰富、研究方法 深刻、实用性较强的数学课程。, 研究对象：从科学与工程问题中抽象归纳出来的数学问题。,通信卫星覆盖
3、地球面积,将地球考虑成 一个球体, 设 R为地球半 径,h为卫星高 度,D为覆盖面 在平面的投影,举例,1。求下列方程的根或零点：,（第四章的内容：非线性方程的数值解法）,Can you solve：,Can you solve：,2。怎么求解下列积分？,（第八章的内容：数值积分）,三种常用的技术:,（1）求未知数据的迭代计算技术 （2）连续模型离散化处理技术 （3）离散数据的连续化处理技术,Def : (算法) 为了用计算机解决数学问题而构造的 能够用数值计算的实施方法。即把对数学问题的解 法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并有确 定运算次序的完整而准确的描述。,算法的特点：,构造性 能
4、够通过数值演算 一种实施方法,算法的可用性（算法的稳定性）：,理论上很完美的算法，在计算机上未必可用。,例1：Gramer 法则解线性方程组：n 阶方程组需计 算 n + 1 个行列式的值，每一个行列式的值需 次乘法，共需 次 乘法。,例2：如建立,的递推公式并作实际计算。,解: (1) 易知,(2) 因为,算法的优劣：,评价标准：(1) 计算量的大小,例：计算,直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。,迭代计算：,按下列迭代公式计算,只需 n 次乘法和 n 次加法。,(2) 存储量的多少,(3) 逻辑结构是否简单,二、数值分析的特点,1. 近似：由此产生“误差” 在计算数
5、学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？,原点附近,在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵， 但在计算数学中，它却是降秩矩阵。,？,2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）,1.2 误差 ( Error ),1 误差的背景介绍 ( Introduction ),1. 来源与分类 ( Source & Classification ),模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型,观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数的值,方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解
6、数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差,舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差.,1.2.4 误差与有效数字 (Error and Significant Digits),绝对误差 ( absolute error ),其中 x*为精确值，x为x*的近似值。,例如：,工程上常记为,的上限记为 , 称为绝对误差限( accuracy ),相对误差 ( relative error ),称r(x)为相对误差限。由于精确值 x*一般是未知的,如果存在一个适当小的正数r ，使得,x 的相对误差限常定义为,
7、有效数字 （significant digits ）,用科学计数法，记 (其中 ）若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。,有效数字和相对误差的关系,Th1. 若近似数 x 有n 位有效数值，则其相对误差限为,反之，若x 的相对误差限满足： 则x 至少有n 位有效数字。,证：记 则 所以,反之易得。,注：定理表明，有效数字的位数越多，相对误差越小,1. 一元函数 y= f (x)误差分析 ( 准确值 y*=f (x*) ) 由Taylor 公式,同理:,所以,反问题: 估计,2. 多元函数 z = f (x1, x2, xn) 误差分析,(1),(3),(2),数
8、据误差对算术运算影响,例. 二次方程 x2 16 x + 1 = 0, 取 求 使具有4 位有效数,解:直接计算 x18 7.937 = 0.063,计算出的x1 具有两位有效数字,例2. 圆面积计算的误差估计,圆面积计算公式:,全微分近似:,取 r = 50 cm, 则有 cm,21%=2%,150 cm2,反问题: 估计,数值计算中的基本原则,(1)避免绝对值小的数做除数; (2)避免两相近数相减; (3)防止大数“吃”小数现象,a = 109，b = 9，设想在8位浮点数系中相加 a + b =1.0000000 109+ 0.000000009 109 由于只保留8位有效数，数据09被
9、舍去,实际加法操作 a + b计算结果是 将 a 的数据作为计算结果赋值给 a+ b.,(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数),例 计算 P(x) = 1+ 2 x +3 x2 + 4 x3 + 5 x4 的值 P(x)=1+ x (2 + x ( 3 + x (4+ 5 x),一个应用: 2进制数转换为10进制数 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =(12+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=238,求多项式值的秦九韶算法,P(x)=a0+ a1x + a2 x2 + + an xn,注：初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不稳定算法。初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算法称为数值稳定算法。,注：在算法执行过程中,舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳定算法.,
