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1、中考冲刺：一次函数与反比例函数的综合应用一、交点问题1. 与的交点问题。（1）当m与k不同号（mk0）时，两函数图象必有两个交点。注意：求交点坐标，利用；两个交点关于原点对称。2. 与的交点问题（1）当m与k不同号（mk0）时，两函数图象必有两个交点。注意：求交点坐标，利用。二、比较大小当直线在双曲线上方时，即一次函数值大于反比例函数值；当直线在双曲线下方时，即一次函数值小于反比例函数值。如图：当时，；当时，。三、面积问题或例题1 （防城港）将直线y=x向左平移1个单位长度后得到直线a，如图，直线a与反比例函数的图象相交于A，与x轴相交于B，则 。解析：先将直线y=x向左平移1个单位长度后得到
2、直线a可知OB=1，直线AB的解析式为y=x+1，解方程组可得点A的坐标，进而可求OA2，即可求解。答案：直线y=x向左平移1个单位长度，OB=1，直线AB的解析式为y=x+1，设A的坐标（x，y），则满足方程组， ，而，。点拨：主要考查一次函数图象的平移、反比例函数图象和性质，及利用它们的解析式求交点坐标。例题2 如图所示，反比例函数的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）。（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长。解析：（1）由已知先求出m，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y=kx-3求
3、出k的值即可求出一次函数的解析式。（2）把代入和y=x-3，得出点B和点C的纵坐标，即可求出线段BC的长。答案：（1）点A （4，m）在反比例函数的图象上，A （4，1），把A （4，1）代入一次函数y=kx-3，得4k-3=1，k=1，一次函数的解析式为y=x-3。（2）直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，当x=2时，线段BC的长为。点拨：此题考查的知识点是反比例函数综合应用，解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式。本节所讲授内容中，主要考查一次函数与反比例函数的综合应用。要求学生能熟练掌握函数图象的性质；利用函数图象的交点
4、解对应的方程与不等式；利用割补的思想解决图形的面积类问题；利用分类讨论思想解决图形的存在性问题等。综合部分难度较大，要求学生思维严谨，也为之后的二次函数与几何综合的学习打下基础。例题 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点与x轴交于点C。（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；（3）你能求出图中AOB的面积吗？若不能，请说明理由；若能，请写出求解过程。解析：（1）设反比例函数的解析式是，把A（-2，1）代入求出k即可；把（1，n）代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A（-2，1）和
5、B（1，-2）代入y=kx+b得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；（2）根据A、B的坐标，结合图象即可得出答案；（3）求出一次函数与x轴的交点坐标，分别求出三角形AOC和三角形BOC的面积，即可得出答案。答案：（1）设反比例函数的解析式是把A（-2，1）代入得：k=-2，即反比例函数的解析式是把B（1，n）代入反比例函数的解析式得：n=-2，即B的坐标是（1，-2），把A（-2，1）和B（1，-2）代入y=kx+b得：解得：k=-1，b=-1。即一次函数的解析式是y=-x-1；（2）根据图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x-2或0x1；（3）能求出AOB
6、的面积，把y=0代入y=-x-1得：0=-x-1，x=-1，即C的坐标是（-1，0），OC=1，A（-2，1），B（1，-2），AOB的面积S=SAOC+SBOC点拨：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，用了数形结合思想。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 已知ab，且a0，b0，a+b0，则函数y=ax+b与在同一坐标系中的图象不可能是（）A. B. C. D. *2.（南宁）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为
7、（）A. 3 B. 6 C. D. *3.（鞍山一模）直线分别与x轴、y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B。过点A作AEy轴于点E，过点B作BFx轴于点F，连接EF，下列结论：；四边形AEFC是平行四边形；。其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4*4. （盐城模拟）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程的实根x0一定在（）范围内。A. B. C. D. 二、填空题*5. （盐城）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，且，反比例函数 的图象经
8、过点C，则所有可能的k值为 。*6.（贵港）如图，点都在双曲线上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是 。*7. 如图，直线交双曲线于A、B两点，将直线平移至点A，交x轴于C点，则 。*8. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于A、B两点，则阴影部分（包括边界）横、纵坐标都是整数的点有 。三、解答题*9.（安徽模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，且与坐标轴的交点为（6，0），（0，6），点B的横坐标为4。（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）直接写出不等式的解。*10.（南安市质检）如图，已知双曲线（
9、k为常数）与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点M（点M在A的左侧）是双曲线上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点。（1）若直线l的解析式为，A点的坐标为（a，1），求a、k的值；当AM=2MP时，求点P的坐标。（2）若AM=mMP，BM=nMQ，求mn的值。*11.（泉州）如图，直线与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）。（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sinBAC的值；*12. 如图，分别取反比例函数,图象的一支，等腰直角AOB中，OAOB，OA=OB=2，AB交y轴于C，AOC=60
10、。（1）将AOC沿y轴折叠得DOC，试判断D点是否在的图象上，并说明理由。（2）连接BD，求。1. B 解析：B选项：一次函数图象可得，则，反比例函数图象在二、四象限。B错。2. D 解析：将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，平移后直线的解析式为，分别过点A、B作ADx轴，BEx轴，CFBE于点F，设，OA=3BC，BCOA，CFx轴，BCFAOD，点B在直线上， ，点A、B在双曲线上，解得x=1，。选D。3. D 解析：与相交，解得或， A点坐标是（1，3），B点坐标是，直线与x轴和y轴的交点分别是、（0，5），C点坐标是，D点坐标是（0，5），AEy轴，BFx轴，AE=1，DE=
11、ODOE=53=2，在RtADE中，同理可求，故AD=BC，故选项正确；OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，EFAB，故选项正确；AE=CF=1，且AECF，四边形AEFC是平行四边形，故选项正确；，SAOD=SBOC，故选项正确。故选D。4. B 解析：方程变形为，方程的根可视为函数图象与函数图象交点的横坐标，当m取任意正实数时，函数的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，当m取任意正实数时，函数的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当m=0时，与的交点A的坐标为（1，1），当m
12、取任意正实数时，方程的实根x0一定在0x01的范围内。故选B。5. 解析： 注：此题也可以设参数，利用勾股定理求解。在中，令y=0，则x=2；令x=0，得y=1，A（2，0），B（0，1）。在RtAOB中，由勾股定理得：。设，则，。当点C为线段AB中点时，有，A（2，0），B（0，1），。以点O为圆心，OC长为半径作圆，与直线AB的另外一个交点是，则点C、点均符合条件。如图，过点O作OEAB于点E，则，。，。过点作CFx轴于点F，则，。反比例函数的图象经过点C或，k=。6. 解析：分别把点代入双曲线，得，则点A的坐标为、点B的坐标为，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐
13、标为，D点坐标为（1，3），连接CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为，把C，D（1，3）分别代入，解得，所以直线CD的解析式为。7. 24 解析：此题可设直线平移后的表达式为，则C点坐标（b，0），又直线、直线与 交于同一点，可得k与b的关系，又OA=OB，可得，然后再求解。设直线y=x平移后的表达式为y=x+b，则C点坐标（b，0），由于A在双曲线 上，则，将A代入，可得：，整理可得：，则。故答案为：24。8. 11个 解析：根据题意，易得双曲线与直线均过点（1，6）与（6，1），阴影部分即直线下方与双曲线上方的部分，易得当x=1时，其格点为（1，6），当x=2时，其格点为（2，3）与（2，4）（2，5），当x=3时，其格点为（3，4），（3，2），（3，3），当x=4时，其格点为（4，3）（4，2），当x=5时，格点有（5，2），当x=6时，格点为（6，1）。共11个。9. 解：（1）设一次函数解析式为，一次函数与坐标轴的交点为（6，0），（0，6）， ， 一次函数解析式为：， B（4，2），反比例函数解析式为：；（2）点A与点B是反比例函数与一次函数的交点，可得：， 解得：，A（2，4），；（3）观察图象，易知的解集为：。10. 解
