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1、高考数学复习 强化双基系列课件,36等差数列与 等比数列的综合问题,课 前 热 身,1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( )，38的特点，在括号内适当的一个数是_. 2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,bR且ab)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( ) A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72 3.等比数列an的各项都是正数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列，则(a5+a6) / (a4+a5)的值是( ) A. B. C. D. 或,31,D,A,4.等比数列an中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5
2、+a7)=_ 5.在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( ) A.20 B.22 C.24 D.28,C,9,课 前 热 身,考点一:等差数列 的概念、通项公式和 前n项和公式 .,1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.,2.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d,3.前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =,【典型例题1】设数列an的前项和为Sn=n2+2n+4(nN) (1)写出a1，a2，a3； (2)证明:数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4, 是等差数列.
3、,评:由于a2-a1=5-7=-2, an+1-an=-2故不对任意成立，数列 an不是等差数列.,【同类变式】设数列un是公差不为0的等差数列,u11= u51,u20=22,设数列un的前项和为Sn， un 的前项和为Tn. (1)求u31的值; (2)求Tn的表达式.,考点二：等差数列的性质：,1.等差中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项A(a+b)/2,am+anap+aq(等差数列),3.等差数列中Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, Skn-S(k-1)n成等差数列.,4.若kn成等差数列,则akn成等差数列.,【同类变式】一个等差
4、数列的前12项和为354,前12项中 偶数项和与奇数项和之比为32:27, 求公差d.,d=5,由S偶-S奇=6d,考点三：求Sn的最大（小）值,(1)在等差数列an中，a10,d0 ，则Sn有最小值.,(2)求Sn的最值的几种方法: 由 转化为二次函数求最值; 利用 则Sn为最大.,【典型例题3】在等差数列an中 (1) 若a10 , S4=S9 , 求Sn取最大值时, n的值; (2)a1=15 , S4=S12 , 求Sn的最大值.,【同类变式】若数列an是等差数列, 数列bn满足 bn=anan+1an+2(nN+), bn的前项和为, 若an中满足3a5=8a120, 试问n多大时,
5、 Sn取得最大值? 证明你的结论.,解析： 3a5=8a120, 3a5=8(a5+7d), 解得a5= 0 , d0, , an是首项为正数的递减数列.,由 解得, n=16, 即a160, a17a2a3a16 0 a17 a18,而 b15=a15a16a17 0. S14S13S1 , S14S15, S15S16,又a15= 0, a18= 0,a15 0, S16S14 , 故Sn中S16最大 .,评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组 ，探讨 中的正负关系。,若数列an是等差数列, 数列bn满足 bn=anan+1an+2(nN+), bn的前项和为Sn, 若an中满足
6、3a5=8a120, 试问n多大时, Sn取得最大值? 证明你的结论,b1b2b3b14 0 b17 b18,考点四:等比数列 的概念、通项公式和前n项和公式 .,1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.,2.通项公式 an=a1 qn-1,3.前项和公式 Sn=a1+a2+a3+an =,【典型例题4】数列an与bn的通项公式分别为an=2n, bn=3n+2, 它们的公共项由小到大排成的数列是cn . (1)写出cn前5项；(2)证明cn是等比数列.,【同类变式】（1）已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数 列cn+1-tc
7、n为等比数列，求常数t; (2) 设an、bn是公比不相等的两个等比数列， cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。,评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是 数列中的基本问题之一。,提示（1） (2-t)(3-t)2n3n=0 p=2或p=3.,（2）为证cn不是等比数列只需证c22c1c3,考点五：等比数列的性质：,1.等比中项 如果在a、b中间插入一个数G，使a、G、b成等差数列，则G 叫a、b的等差中项G2ab,amanapaq(等比数列),4.等差比列中Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, Skn-S(k-1)n成等比数列.,5.若kn成等差数列,则 成等比数列
8、.,3.a1an=a2an-1=akan-k+1= 若an0, a1a2 an=,6.重要性质：,am+anap+aq(等差数列),amanapaq(等比数列),(m、n、p、qN*),特别地 m+n=2p am+an2ap(等差数列) amana2p(等比数列),知识要点,【典型例题5】在等比数列an中, Sn表示前n项和. (1)a1+an=66, a2an-1=128, Sn=126, 求n和公比q; (2)Sn=2, S2n=12, 求S3n.,【同类变式】在1/n和n+1之间插入n个正数, 使这n+2 个数依次成等比数列, 求所插入的n个数之积.,解：设这n个数为x1， x2，x3，
9、xn，且公比为q，则有,=,=,=,【典型例题6】设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数， 它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是 第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？ (lg2=0.3,lg3=0.4),解法一：,设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有,化简得,设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1,=lga1nq1+2+(n1),=nlga1+n(n1)lgq,=n(2lg2+lg3) n(n1)lg3,=( )n2+(2lg2+ lg3)n .,可见，当n=,Sn最大.,=5.5 ,故lgan的前5项和最大.
10、,设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4),解法二：接前，,于是lgan=lg108( )n1,=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数列，,令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n,=5.5 .,由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大.,1.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( ) C. 2 D. 2,B,2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0
11、logm(ab)1, 则m的取值范围是_. 3.等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之 和为290，则其中间项为_. 4.已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数 列，则 = _.,(8 ,+),第11项a11=29,2,5.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由.,(2)解法一：由d0可知a1a2a3a12a13 , 因此，在S1，S2， S12中Sk为最大值的条件为：,5.(1)解：依题意有：,ak0且ak+10,a3=12, d 0
12、 , 2 k3, d3 , 4,得5.5k7.,解之得公差d的取值范围为 d3.,因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.,解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自 然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，,当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.,所以有：2a7=a1+a13= S130,a70, a7+a6=a1+a12= S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.,解法三：依题意得：,最小时，Sn最大；, d3,6 (5 )6.5.,从而，在正整数中，,
13、当n=6时，n (5 )2最小，所以S6最大.,点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.,6.已知数列an为等差数列，公差d0,由an中的部分项组成的 数列a,a,a,为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17. (1)求
14、数列bn的通项公式； (2)记Tn=C b1+C b2+C b3+C bn , 求,解：(1)由题意知a52=a1a17，,即(a1+4d)2=a1(a1+16d )a1d =2d 2,d0,a1=2d ,数列 的公比q = = 3, =a13n1 ,又 =a1+(bn1)d = ,由得a13n1= a1 .,a1=2d0,bn=23n11.,(2)Tn=C b1+C b2+C bn,=C (2301)+C (2311)+C (23n11),=(C +C 32+C 3n)(C +C +C ),= (1+3)n1(2n1),= 4n2n + ,7(2006北大附中中学内部试卷 )设ak 为等差数列， 公差为d，ak0，k1，2，2n1 (1)证明a a2n1a2n1； (2)记bk ，试证 lg b1lg b2lg bn lg a2n1 lg a1 ,(1)证明：a a2n
