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1、第七章 数值积分与数值微分,数值微分,Def : 如果函数 f (x)是以表格形式给出，近似地求函数在某点的导数值，或者说某点上函数的导数用该点附近节点上的函数值近似表示，称为数值微分。,一 Taylor展开法,(1)式整理得：,(2)式整理得：,(1)式-(2)式、(1)式+(2)式，整理得：,略去以上公式右端中的导数项或称为截断误差项，则得 f (x)在 x0 点的一阶和二阶导数的数值计算公式：,它们分别称为 f (x)的一阶导数的向前插商公式、向后插商公式、 中心插商公式和二阶导数的中心插商公式。前两个精度为O (h)， 后两个精度为O (h2).,注：从截断误差来看，步长h越小，计算精
2、度越高；从数值计算 的稳定性角度来看，h 越小，f (x0+h)与 f (x0-h)的值越接近， 两近似数相减有效数字损失严重。另一方面，数值微分恰恰对舍 入误差比较敏感。,如一阶导数的中心插商公式：设 f (x0+h)与 f (x0 -h) 分别有舍入 误差 ，并令 ，则计算 产生的误 差为：,明显地，误差随h趋于零而变得越来越大。故在实际计算时，步 长h 不宜取得太小，也不宜取得太大，应综合考虑截断误差和数 值稳定性两个方面。,一阶导数的中心插商公式的舍入误差和截断误差之和的上界为：,其中： ，选择使E (h)达到最小的最优步长：,例1：设 f i 给出4 位小数，即 ，在区间1 , 2上
3、，用 中心插分公式计算 f (x)=e x 的一阶导数时，求h opt,解：,二 插值型求导公式,给定插值数据：,可建立Lagrange 插值公式 L n (x)，使得：,所以有： 等等。,注：当L n ( x) 收敛于 f ( x)时， 不一定收敛于 。当h 减小时其截断误差减小，但舍入误差却会增加，并且数值微分 对舍入误差非常敏感。所以步长 h 应取适当值，不宜太小，同 时要注意误差分析。,在此公式中，右端第二项很难估计。但由于在各个节点上有 ，故仅讨论节点 xk 上的导数值：,称 和 为插值型求 导公式。求导公式在节点 x k 处的余项为：,1 两点公式,当n =1时，即取两个插值节点，
4、此时可得：,2 三点公式,当n =2时，即取三个插值节点，此时：,两端关于 x 求导，得三点公式：,从而可得节点上的三点公式：,三点公式的余项为：,三点公式的截断误差均为：,又：,于是得到二阶导数的中心差分公式：,其余项为：,同理，当n = 4 时，即取5个插值节点：,可导出常用的五点公式：,其余项为：,注：用插值法建立的数值求导公式，通常导数值的精确度比 用插值公式求得的函数值的精确度要差，高阶导数值的精确 度比低阶导数值差，所以，不宜用这种方法建立高阶数值求 导公式。,例2：设 ，对h= 0.01，使用公式(5)(8)，计算 的近似值。,解：由(5)式,由(6)式,由(7)式,由(8)式,
