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1、工程力学 Engineering Mechanics,第八章 组 合 变 形 Combined Deformation,第一节 组合变形的概念 第二节 两个互相垂直方向的平面弯曲的组合-斜弯曲 第三节 拉伸（或压缩）与弯曲的组合-拉弯组合 第四节 偏心压缩（拉伸） 第五节 弯曲与扭转的组合-弯扭组合,四种基本变形计算：,变形 轴向拉压 剪切 扭转 平面弯曲,外力 轴向力 横向力 外力偶 横向力或外力偶,内力 轴力() 剪力(Q) 扭矩(z) 剪力(Q) 弯矩(M),应力 正应力 剪应力 剪应力 剪应力 正应力,计算公式,分布规律,8.1 组合变形的概念,基本变形 拉伸或压缩 剪切 扭转 弯曲,
2、在外力的作用下，构件同时发生两种或两种以上的基本变形，且每一种基本变形所产生的变形参量属同一数量级的变形，称为组合变形。,一、组合变形,压弯组合变形,组合变形工程实例,10-1,压弯组合变形,组合变形工程实例,拉弯组合变形,组合变形工程实例,二、组合变形的研究方法 叠加原理 前提：线弹性，小变形 解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤： 首先将构件的组合变形分解为基本变形； 然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。 试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。,第二节 两
3、个互相垂直方向的平面弯曲的组合(斜弯曲),梁在发生弯曲变形时，其弯曲平面（即挠曲轴线所在平面）将与外力的作用平面相重合，这种弯曲叫做平面弯曲。 外力所在平面与变形曲线所在平面不重合的弯曲称为斜弯曲。 如果将载荷沿两主形心轴分解，此时梁在两个分载荷作用下，分别在横向对称平面( OXZ 平面）和竖向对称平面（ OXY 平面）内发生平面弯曲，这类梁的弯曲变形称为斜弯曲，它是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。,平面弯曲,斜弯曲,y,z,y,xz平面内的平面弯曲,xy平面内的平面弯曲,中性轴位置：,令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标,外力与中性轴并不互相垂直,斜弯曲时，横截面的中性轴是一条通过截面形心
4、的斜直线。一般情况下，中性轴不与外力垂直,例1 图示矩形截面梁，截面宽度b90mm，高度h180mm。梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 。若已知F1800N， F21650N， L 1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。,第三节 拉伸（或压缩）与弯曲的组合(拉弯组合 ),杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形为拉（压）弯组合变形。,一、计算方法：,1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；,2.按叠加原理求正应力的代数和即可。,二、注意事项：,1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大
5、压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。,2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力在横截面上引起附加弯矩亦不能忽略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。,1、求内力,目录,三、强度条件,2、求应力,3、建立强度条件,目录,例2 如图所示的钻床，在零件进行钻孔时，钻床主轴AB受到P=15kN的轴向外力作用，已知铸铁立柱CD的直径d=150mm，铸铁的许用拉应力=30MPa，许用压缩应力=100MPa，试校核立柱CD的强度。,解 : (1) 内力分析： 立柱CD在P力作用下受到弯曲与拉伸的组合作用，弯矩和轴力分别为： FN = 15(kN) Mz = 15 4
6、0= 6 (kN m),(2) 应力计算： 圆截面点处所受的正应力为：,圆截面a点处所受的正应力为：,(3) 校核强度：从上面计算可知,故 安全,第四节 偏心拉伸（压缩）,1. 荷载P的作用线与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。 偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心拉伸（压缩）。 2. 当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心拉伸（压缩） 。 3. 偏心拉伸（压缩）将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。,P,双向偏心压缩,一、应力分析：,总应力,A 为横截面面积；,Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z
7、轴的惯性矩；,M=P*e e是偏心距,二、危险点的应力及强度条件,max=P/A + MZ/WZ + MY/WY,max=P/A + MZ/WZ + MY/WY,解：两柱均为压应力,例3 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。,图（1）,图（2）,例4 图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P2kN。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm，材料的许用应力170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。,解：,竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。危险点处的正应力为:,强度条件满足，所以竖杆在强度上是安
8、全的。,第五节 弯曲与扭转的组合,一、弯曲与扭转组合变形的概念,受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。,变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。,1、 内力分析,设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。,二、危险点及其应力状态,B,横向力： P （引起平面弯曲）,力偶矩： m = Pa （引起扭转）,将力 P 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得,AB 杆为弯扭组合变形,x,画内力图确定危险截面,固定端为危险截面,2、 应力分析,危险点为 C1 和 C2,最大扭转剪应力 发生在截面周边上的各点处。,危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 、C
9、2 处,对于许用拉、压应力相等的 塑性材料制成的杆这两点的 危险程度是相同的。 可取任 一点C1 来研究。,C1 点处于平面应力状态,3、强度分析,(1) 主应力计算,第三强度理论,计算相当力,(2) 相当应力计算,第四强度理论,计算相当应力,承受弯曲与扭转的圆轴一般由韧性材料制成，故可用第三或第四强度理论。,(3) 强度计算,1,该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。,三、强度条件讨论, 可以是弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力；, 是由扭转变形引起的剪应力。, 还可以是弯曲，拉（压）与扭转组合变形中由弯曲与拉（压）产生的正应力。, 也
10、可以是 拉（压）与扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力；,该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转 的组合变形； 以及 拉（压），扭转 与 弯曲 的组合变形。,弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为,对于圆形截面杆有,2,扭转截面系数,两式只适用于 弯，扭组合变形下的 圆截面杆。,式中W为杆的抗弯截面系数， W t为扭转截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩。,外力分析：外力向形心简化并分解。,内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危 险面。,应力分析：建立强度条件。,弯扭组合问题的求解步骤：,Mr3， 计算弯矩,Mr4， 计算弯矩,例5 试根据最大剪应力理论（第
11、三强度理论）确定图中所示手摇卷扬机（辘轳）能起吊的最大许可荷载P的数值。已知：机轴的横截面为直径d =30mm的圆形，机轴材料的许用应力 =160MPa。,解: （1）跨中截面的内力,Nm,Nm,N,（2）截面的几何特性,mm3,mm3,mm2,（3）应力计算,MPa,MPa,MPa, MPa,MPa,（4）根据最大剪应力理论求许可荷载,P,kN,例6 图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向力 5 KN,径向力 1.82 KN;齿轮 D上作用有水平切向力10 KN,径向力 3.64 KN 。齿轮 C 的节圆直径 dC = 400 mm ,齿轮 D 的节圆直径 dD =200 mm
12、。设许用应力=100 MPa ,试按第四强度理论求轴的直径。,C,D,解：1 、外力的简化,将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化，,2、 轴的变形分析,1 KN.m 使轴产生扭转,5KN ， 3.64KN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲。,1.82KN ，10KN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲。,3、绘制轴的内力图,MyC=0.57KN.m,MyB=0.36KN.m,MZC=0.227KN.m,MZB=1KN.m,T=1KN.m,A,D,圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形,由于通过圆轴轴线的 任一平面都是纵向对称 平面，故轴在 xz 和 xy 两平面内弯曲的合成 结果仍为平面弯曲 ，从而可用总弯矩来 计算该截面正应力。,B 截面是危险截面,4、危险截面上的 内力计算,y,z,B截面的总弯矩为,B 截面的扭矩值为,0.57,0.36,C,B,My图,0.227,1,C,B,Mz图,1,C,T图,5，由强度条件求轴的直径,轴需要的直径为,本章结束,
