《现代控制理论基础第3版孙炳达3线性控制系统的能控性与能观测性修改》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论基础第3版孙炳达3线性控制系统的能控性与能观测性修改（108页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章,线性控制系统的能控性与能观测性,能控性与能观测性的基本概念 线性定常系统能控性及其判据 线性定常系统能观性及其判据 离散系统的能控性和能观测性 能控性与能观测性的对偶关系 能控和能观测标准型 系统的结构分解 传递函数的实现 能控性和能观测性与零极点的关系,主要内容,第一节 能控性与能观测性的基本概念,一、能控性的基本概念,系统能控性关心的核心问题是，系统的状态变量能否被控制。,图3-1为电阻-电容组成的桥式电路，如果选取电容两端的电压 为状态变量，,即,由电路可知，当,图3-1,电容 两端电位相等，,而且，无论输入电压,如何改变，电容,两端电位始终不变，即始终,从控制的观点看，就是状态
2、变量 不受输入量 的控制,该电路的状态是不能控的。,，电桥平衡，,，或者说，,当,电桥不平衡时，电容两端的电位不相等，,而且，电容电压 始终跟着输入电压 的变化而变化。,从控制的观点看，就是状态变量 受输入量 的控制， 或者说该电路的状态,是能控的。,系统状态不完全能控的模拟结构图，如图3-2所示。,图3-2不（完全）能控系统的模拟结构图,图3-2中，系统有两个状态变量,其中，,受控于系统的输入量,，换句话说，输入量,的变化会引起,的变化；,与系统的输入量无关，,或者说，,因此，该系统状态是不完全能控的。,不受系统的输入量的控制，,图3-3是能控系统的模拟结构图，从图中可看出，系统的两个状态变
3、量,图3-3能控系统的模拟结构图,都受控于系统的输入量,，因此，该系统的状态都是能控的。,二、能观测性的基本概念,系统能观测性关心的核心问题是，状态变量,能否从输出量 y 中检测出来。,图3-4,图3-4的 电路,，电路中，若选取两个电感上的电流,和,分别作为状态变量,，,，输入量为,， 为输出量。,根据电路知识，用第一章介绍的方法可求出系统的状态空间描述方程为,用第二章介绍的方法可求出系统状态转移矩阵,状态方程的解为,于是，系统输出,设电路的初始状态为,。,为了便于讨论，令输入,为零，只考虑初始状态下系统的输出量可得,输出表明，它只是与状态间的误差值有关，也就是说，并不能从系统的输出值,中确
4、定出各个状态值，因此，电路是不能观测的。,图3-5为不完全能观测系统的模拟结构图。,从图中看出，系统的输出值完全与第3个状态变量无关，换句话说，不能从系统的输出值中检测出第个状态变量。,图3-5一种不完全能观测系统的模拟结构图,第二节 线性定常系统的能控性及其判据,一、状态能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的 某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果 系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。,若其中有一个状态不可控，就称系统是状态不完全能控的，或简称系统是不能控的。,两点说明：,（1）对于初始状态，定义中指的是状态空间中的
5、任意坐标点。若初始状态特指,是坐标原点，控制的目标是状态空间中的任一终端状态，,常称系统是状态能达的。,要注意的是，对于连续定常系统，系统的能控性和能达性是等价的，就是说，,能控的系统一定是能达的，能达的系统一定是能控的，因为，连续系统的状态,转移矩阵是非奇异的。,线性定常系统的状态方程,（2）为了计算和讨论的方便，常假定初始时刻,，初始状态的坐标点在,，而终端状态指定为坐标的原点,的终端目标不在坐标原点，完全可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下处在,状态空间中的,。如果控制,坐标原点上，这不会影响结果的正确性。,线性定常系统状态能控性判据，有三种形式。一种是按标准型状态方程的方,二、状态能控
6、性判据,法去判定；一种是通过线性变换的方法去判定；第三种是根据“能控性矩阵的秩”,方法去判定。分述如下：,方法1 具有标准型状态方程的判据,若系统矩阵具有标准型的状态方程，则判定系统状态是否能控的方法比较简单。,判据一 若系统矩阵 为对角线型,且特征值互不相同,则系统状态能控的充分必要条件是，对于单输入-单输出系统，输入矩阵,没有零元素；对于多输入系统，输入矩阵,无全零行。,判据的严格证明从略。只通过如下例加于解释和说明。,若系统状态方程为,写成微分方程组,若,均不为0，,从微分方程组可看出，,、,与输入,都有关，,即,，,都能受到输入,的控制，该系统是能控的。,若系统状态方程为,写成微分方程
7、组,若,从微分方程组可看出，,与输入,无关，,即,不能受输入,。该系统是不完全能控的，或系统是不能控的。,的控制,例3-1 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。,系统2,系统1,解 根据判据一， 系统（1）不能控 ； 系统（2）能控。,系统（1）的模拟状态结构图如下,判据二 若系统矩阵,为约当型,且一个特征值只对应一个约当块,则系统状态能控的充分必要条件是：,输入矩阵,中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；,2.输入矩阵,中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素,全为零。,- -,-,-,- -,通过例加于说明和理解。,若系统状态方程为,系统状态是能控的。因为对应的3个
8、一阶微分方程中，都含有输入量,。,- -,-,-,若系统状态方程为,-,-,-,输入矩阵,中出现全零行，系统状态是不能控的。,实际上，对应的3个一阶微分方程中，有不含输入量,的。,判据三 若系统的状态方程是能控标准型，即,则系统一定是状态能控的。,方法2 通过线性变换方法的判据,上一章指出，线性变换不会改变系统特征值，实际上也不会改变系统能控性,的条件。因此，对于一般的系统，设状态方程为,（3-1）,若系统矩阵,的特征值互异，则一定可以选取变换矩阵,，,并令,可使式（3-1）的系统矩阵,变换为对角线,型，变换后的状态方程为,（3-2）,判据四 若系统矩阵,的特征值互异，通过线性变换变成式（3-
9、2）的形式，,则系统状态能控的充分必要条件是，,控制矩阵,的各行设有0元素。,对于多输入系统，控制矩阵,的各行元素没有全为0的。,若系统矩阵,的特征值有相异也有相同的，则一定可以选取一变换矩阵,，并令,可使式（3-1）系统矩阵,变换成约当,型，,变换后的状态方程为,判据五 若系统矩阵,的特征值有相异也有相同时，先通过线性变换变成,式（3-3）的形式，则系统状态能控的充分必要条件是,（3-3）,控制矩阵,中对应于互异特征值的部分，它的各行元素，没有全为0的。,2.控制矩阵,中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应,的一行的元素，没有全为0的。,例3-2 有如下两个线性定常系统，判断
10、其能控性。,系统1,系统2,解 根据判据五， 系统1能控 ； 系统2不能控。,-,-,-,-,-,-,方法3 “能控性矩阵秩”判据,能控性矩阵秩判据，是直接通过系统矩阵,和输入矩阵,构造一个新矩阵,，常称新矩阵,为能控性矩阵,（3-4）,判据六 设,阶系统状态方程,则系统状态能控的充分必要条件是，由,和,构成的能控性矩阵式（3-4）,为满秩，即,否则，,时，系统状态不能控，,简称系统不能控。,证明见教材,例3-3 判别如下系统的能控性,解 构造能控性矩阵：,能控性矩阵的秩：,因为,，能控性矩阵的秩也等于3，满秩，故系统的状态完全可控。,例3-4设系统状态方程为,若要求系统状态可控，试求,的值。
11、,解 构造能控性矩阵,令,即可满足可控性条件，于是有,通过上面的介绍和讨论，有如下结论：,（1）系统的能控性，是由状态方程中的系统矩阵,和输入矩阵,由于系统矩阵,是由系统的结构和参数决定的，而输入矩阵,作用点有关，所以，换句话说，系统的能控性，完全由系统的结构、参数以及控,决定的。,是与控制信号的,制信号作用点来决定；,（2）在系统矩阵,为对角线标准型时，若输入矩阵,出现全0行，则与之,的齐次微分方程，这就意味着该状态变量不可能在有限时,对应的是不含输入量,间内衰减到零状态，系统是不能控的。,（3）在系统矩阵,为约旦标准型时，由于前一个状态总是受下一个状态,的控制，所以，,只有当输入矩阵,中相
12、应于约旦块的最后一行的元素出现全0时，,则与之对应的是不含输入,的一齐次微分程，也就意味着该状态不受输入,的控制，因此，系统是不能控的。,三、输出能控性及其判据,系统输出能控性所关心的问题是，系统的输入量对系统输出量的控制能力如何。,对于线性定常系统,如果存在控制作用,，能在有限时间 内，使给定的任一系统初始输出,转移到指定的任一终端输出,，则称系统输出是完全能控的。,简称系统输出能控。,维输出。,能在有限时,具有,可以证明，当下面输出能控性矩阵,（3.-12）,的秩等于,，即,时，系统输出是完全能控的。,为输出的个数。,例3-5 己知系统,分析系统的状态能控性和输出能控性。,解 系统的状态能
13、控性矩阵,因为,，,，所以，系统的状态不完全能控。,系统的输出能控性矩阵,因为,，,所以，系统的输出完全能控。,状态完全能控,状态完全能控,例：考察如下系统的状态能控性：,状态完全能控,状态不完全能控,状态不完全能控,X2 状态不能控,例 判别如下系统的能控性,解：,1）构造能控性判别矩阵：,故系统的状态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩：,例 判别如下线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,第三节 能观测性及其判据,有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能,能通过y(t)确定下
14、来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。,1、举例 系统结构图如下,显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的， 是不可观测的。,一、能观测性的定义,+,L,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,-,u,(1)当,状态可观测,(2)当,u只能控制 ， 状态不可观测,2、能观测性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,1、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态
15、可在输入作用下由状态转移矩阵得到。,2、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。 由于输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0。,几点说明：,二、能观测性判据,前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性,1、约当标准型判据,（1）线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中， 不包含元素全为0的列。,例：考察如下系统的能观测性：,中， 阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。,（2）：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值
