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1、第三章,线性控制系统的 能控性与能观测性,能控性定义 能控性 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性 能控性与能观测性的对偶关系 能控和能观测标准型 系统的结构分解 传递函数的实现 能控性和能观测性与零极点的关系,主要内容,能控性和能观测性的基本概念：,20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。,能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能够控制状态（控制问题）,能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）,3.1 能控性定义,指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)
2、作任意转移的问题。,有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。,受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。,一、例子 例1：系统的结构图如下,显然， 只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。,+,L,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,-,u,(1)当,状态可控,(2)当,u只能控制 ， 状态不可控,二、能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果系
3、统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。,几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到零态 ，则称系统是状态能控的。,2、系统的状态能达性：,初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状态空间任意非零有限点。,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统从零态 转移到任意非零状态 ，则称系统是状态能达的。,3.2 能控性判据,约当标准型判据 秩判据,1、具有约当标准型的系统 （1）系统特征根为单根 状态方程为： ，则系统状态完全能控的充要条件为： 中没有任意一行的元素全为
4、零。,一、约当标准型判据,（2）系统特征根有重根 状态方程为： ，则系统状态完全能控的充要条件为： 阵中，对应于每一个约当块的最后一行 元素不全为零。,2、具有一般形式的系统,系统的线性变换不改变系统的能控性。,（1）设线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中， 不包含元素全为0的行。,1）,例：考察以下系统的能控性：,状态完全能控,3）,状态完全能控,状态不完全能控,X2 状态不能控,2）,中， 阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。,（2）：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状
5、态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。,如果 行线性无关，则状态能控,含义：,对于：,状态完全能控,状态完全能控,例：考察如下系统的状态能控性：,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。,状态完全能控,状态不完全能控,状态不完全能控,X2 状态不能控,二、秩判据,对于线性连续定常系统： 状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,满秩,即：,证明：,证明目标：,
6、对系统的任意的初始状态 ，能否找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零 。则系统状态能控。,已知：线性定常非齐次状态方程的解为：,（2）,由（1）式得：,将 代入上式：,（1）,由凯利哈密顿定理 有：,（3）,（4）,将（3）式代入（2）式得：,（5）,令：,（6）,将（5）式代入（4）式得：,由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：,说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：,式（6）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：,由于x(t0)任意，所以，必须有：,证毕,例 判别如下系统的能控性,解：,1）构造能控性判别矩阵：,故系统的状
7、态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩：,例 判别如下线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,3.3 能观测性及其判据,有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能,能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。,1、举例 系统结构图如下,显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的， 是不可观测的。,一、能观测性的定义,+,L,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.,-,u,(1)当,状态可观
8、测,(2)当,u只能控制 ， 状态不可观测,2、能观测性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,1、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到。,2、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。 由于输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0。,几点说明：,二、能观测性判据,前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性,1、约当标准型判据,（1）线
9、性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中， 不包含元素全为0的列。,例：考察如下系统的能观测性：,中， 阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。,（2）：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统状态必不
10、能观测。,例如：,列线性无关，则状态能观测,例：考察如下系统 的能观测性：,2、秩判据,对于线性连续定常系统： 状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例 判别如下系统的能观测性,解：,1）构造能观测性判别矩阵：,故此系统不是状态完全能观测的,例 判别如下系统的能观测性：,故此系统是状态完全能观测的,解：,构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：,1、离散系统的能控性定义,若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将某个初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，则称此状态是完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。,对于n阶线
11、性定常离散系统：,一、离散系统的能控性,3.4 离散系统的能控性与能观测性,满秩,即：,线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,2、离散系统的能控性判据,故系统状态完全能控。,解：,首先构造能控判别阵：,所以能控性判别阵为：,求能控性判别阵的秩：,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性。,如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0 ，则称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,二、离散系统的能观测性,对于n阶线性定常离散系统：,1、离散系统的能观测性定义,2、离散系统的能
12、观测性判别,对于线性离散定常系统，其状态完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性,解：,系统状态 不完全能观测,三、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响,思考：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化。,例：,已知连续系统： 是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：,要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：,联立上2式可知，要使离散化后
13、系统能控且能观测，T必须满足：,1）、对于线性连续定常系统如果是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的。,2）、对于线性连续定常系统如果是能控和能观测的，则其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。,3）、离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择。,故，线性连续定常系统离散化后，系统的能控和能观测性变差了。,结论：,一、线性系统的对偶关系,线性系统1、2如下：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：,3.5 能控性与能观测性的对偶关系,对偶系统状态结构图,输入r维，输出m维,输入m维，输出r维,互为对偶关系的系统之间的性质,1）互为对偶的系统，其传
14、递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,若 能控，则能控性矩阵 满秩。即,设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。,二、对偶原理,证明：,的能观测性矩阵为：,所以 能观测。,*：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,3.6 能控标准型和能观测标准型,一、单输入系统的能控标准型,n维线性定常系统 如果状态完全能控，必有： 上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所
15、谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。故能控标准型仅讨论SI系统。,1、能控标准I型,其中：,如果单输入线性定常系统： 是状态能控的，,将状态方程化为能控标准I型：,则存在线性非奇异变换：,非奇异变换阵为：,是 相乘的结果：,通过推导，得出：,推导过程：见教材P89,提示：令 由 的列向量的线性组合组成，即：,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能控标准I型。 注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。,解：,1）判断系统能控性,2）计算特征多项式,3）计算变换阵，并化为能控标准I型,例：写出以下传递函数的能控标准I型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。,所以：,能控标准I型为：,2、能控标准II
