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1、2017年4月西城区高三一模数学（理科）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D）2在复平面内，复数的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3函数的最小正周期是（A）（B）（C）（D）4函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）5在中，点满足，则（A）（B）（C）（D）6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）（B）（C）（D）7数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的（A）充分而不必要
2、条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，的系数为_（用数字作答）10设等比数列的前项和为若，则_；_11执行如右图所示的程序框图，输出的值为_12曲线（为参数）与直线相交于两点，则_13实数满足，若，则的取值范围是_14如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内
3、部运动平面区域由所有满足的点组成，则的面积是_；四面体的体积的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且（）求角的大小；（）求的取值范围16（本小题满分14分）如图，在正四棱锥中，分别为，的中点（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）若平面与棱交于点，求的值17（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号1234
4、5考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理18（本小题满分13分）已知函数设为曲线在点处的切线，其中（）求直线的方程（用表示）；（）设为原点，直线分别与直线和轴交于两点,求的面积的最小值19（本小题满分1
5、4分）如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，（）求椭圆的方程；（）设为原点，为椭圆上一点，的中点为直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点求证：20（本小题满分13分）如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为记（）当时，若，写出的所有可能的取值；（）给定正整数试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；（）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同西城区高三一模数学（理科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2A 3B 4C5D
6、6C7A 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 910；11121314；注：第10，14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）由 ，得 1分由正弦定理得3分所以4分因为， 5分所以6分（）7分8分9分因为，所以，10分所以，11分所以，12分所以的取值范围是13分16（本小题满分14分）解：（）设，则为底面正方形中心连接因为为正四棱锥，所以平面 1分所以 2分又，且， 3分所以平面 4分（）因为，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系5分因为，所以所以 6分设所以，所以，7分
7、所以即异面直线与所成角的余弦值为9分（）连接设，其中，则，10分所以设平面的法向量为，又，所以即所以令，所以12分因为平面，所以，13分即，解得，所以14分17（本小题满分13分）解：（）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为2分所以，估计240人中有人实测答对第5题3分（）的可能取值是0，1，24分；7分的分布列为：012 8分10分（）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度定义统计量，其中为第题的预估难度并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理11分12分因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的 13分注：本题答案不唯一，学生可构
8、造其它统计量和临界值来进行判断如“预估难度与实测难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的平均值”等，学生只要言之合理即可18（本小题满分13分）解：（）对求导数，得， 1分所以切线的斜率为，2分由此得切线的方程为：，即.4分（）依题意，切线方程中令，得.5分所以 ，.所以，.7分设，.8分则.10分令，得或，的变化情况如下表：所以在单调递减；在单调递增，12分所以，从而的面积的最小值为113分19（本小题满分14分）解：（）设椭圆的半焦距为依题意，得，2分解得，所以，所以椭圆的方程是4分（）解法一：由（）得设的中点，设直线的方程为：，将其代入椭圆
9、方程，整理得，6分所以7分所以，即8分所以直线的斜率是，9分所以直线的方程是令，得10分直线的方程是令，得11分由，得直线的斜率是，所以，记垂足为；因为直线的斜率是，所以，记垂足为13分在和中，和都与互余，所以14分解法二：由（）得设，其中因为的中点为，所以 6分所以直线的斜率是， 7分所以直线的方程是令，得 8分直线的方程是令，得 9分由，得直线的斜率是，10分因为，所以，记垂足为；12分同理可得，所以，记垂足为13分在和中，和都与互余，所以14分20（本小题满分13分）解：（）的所有可能的取值为3，5，7，9.3分（）令，则无论填写的顺序如何，都有5分因为，所以，6分因为，所以8分注：，或
10、均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变不妨设，记，其中则 9分因为，所以与具有相同的奇偶性11分又因为与具有相同的奇偶性，所以与的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同13分解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变考虑如下表所示的任意两种不同的填法，不妨设，其中 9分对于任意，若在两种填法中都位于同一行，则在的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，则对而言，在的结果中得到11分若在两种填法中位于不同行，则在的表达式中在与中各出现一次，则对而言，在的结果中得到由得，对于任意，必为偶数所以，对于表格的所有不同的填法，所有可能取值的奇偶性相同13分
