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1、第二章几何光学的矩阵方法,第二章 几何光学中的矩阵方法,2.1光线矢量与光线矩阵变换,2.2典型的光线变换矩阵,2.3近轴光学的基本公式,2.4光线变换矩阵的特征值与变换系统的特征光线,*2.5非共轴系统的光线变换矩阵,2.6光程函数的矩阵表示,第二章几何光学的矩阵方法,用矩阵来解决几何光学中理想成像问题,理想成像近似条件：,）几何光学的假设：,忽略衍射效应，,遵循光的直线传播原理。,）近轴光线的假设：,点光源发出的各近轴光线可近似认为会聚于同一点，能量不扩散，忽略各种像差。,背景、前提：,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,一、光线方程与光线矢量,光线在空间中的瞬
2、时变化规律：,为表征光线方向的单位矢量,光程函数,是空间位矢,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,光线方程,上式两边同时点乘,某点光程函数的梯度在光线切线方向上的投影等于,光线上该点的折射率,为常矢量）,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,取微小光线弧长增量,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,二、光线矢量的线性变换、光线变换矩阵,M为光线变换矩阵,设对称轴光轴沿Z轴方向,任取YOZ平面,光线描述的简化,第二章几何光学的矩阵方法,轴对称光学系统中的光矢量：,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,光线由,用矩阵表示为,光线变换矩阵,第二
3、章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,第二章几何光学的矩阵方法,光学方向余弦,（严格讲应为 ）,特点：,若光线矢量的矩阵表示：,1.V服从斯涅耳定律（Snells law）：光通过两种介质之间的分界面时，V保持不变。,2. 涉及到的光学系统中所有变换矩阵都是,行列式等于1，即,幺正矩阵：,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,第二章几何光学的矩阵方法,1. 入射光线和出射光线处于折射率相同的介质中：,2. 一般情况：,则：,行列式等于1，即,若光线矢量的矩阵表示：,本书：入射光线和出射光线处于折射率相同 的介质中。,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,符号规则,1）规定Z轴从左向右为正方
4、向，且为光线传播方向，一般规定坐标原点位于Z轴与入射面交点处。,2）Z轴之上，y0；Z轴之下，y0,第二章几何光学的矩阵方法,3）在水平向右为正方向的Z轴坐标系中，由平行于,反之为负,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,若逆向传播,第二章几何光学的矩阵方法,（单位方阵）,光路可逆性质与光线变换矩阵的逆矩阵,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,三、光线在不同介质中的连续变换,1.连续变换,几何光学系统的问题可以归结为光线在各种介质,及其界面或由典型光学元件组成的光学系统中的,连续变换,假设：光学系统在不同介质界面中共有n 次变换。,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,设每个传播单元
5、的变换矩阵为,从系统角度,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,注意：由入射面到出射面自右向左连续相乘；不,满足交换规律，次序不能颠倒；满足结合律,第二章几何光学的矩阵方法,2.1光线矢量与光线的矩阵变换,2.ABCD法则,的方向是光线的切线方,向，与波面垂直，代表了光,波面的法线方向,近轴条件下,第二章几何光学的矩阵方法,22典型的光线变换矩阵,2.2典型的光线变换矩阵,一、均匀介质层（板）内的光线变换矩阵（平移矩阵）,第二章几何光学的矩阵方法,二、平面介质界面的折射变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法,22典型的光线变换矩阵,三、平面反射变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法
6、,22典型的光线变换矩阵,入射,法线,出射,Z,y,四、球面介质界面的折射变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法,22典型的光线变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法,五、球面反射变换矩阵,22典型的光线变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法,六、薄透镜的光线变换矩阵,薄透镜：透镜厚度忽略不计，薄透镜的光线交换是,22典型的光线变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法,22典型的光线变换矩阵,令,f为薄透镜焦距，为光焦度(屈光度),第二章几何光学的矩阵方法,七、梯度折射率介质的光线变换矩阵,梯度折射率光纤折射率沿径向以半径的平方规律变化,在近轴条件下解光线方程：,22典型的光线变换矩阵,第二章几何光学的矩阵方法
7、,22典型的光线变换矩阵,作业1,一块折射率为 n，厚度为d的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R的凹球面和平面，光线入射到凹球面上。 求： （1）凹球面上反射光线的变换矩阵； （2）球面界面处折射入介质、平面界面处反射、球面界面处折射出介质的光线变换矩阵； （3）透射出介质的光线的变换矩阵。,2.3近轴 光学的基本公式,2.3近轴光学的基本公式,一)、光学系统的基点、基面,假设理想光学系统是无象差光学系统，物面上任一,点发出的全部光线经光学系统变换后仍能会聚在象面上一点，这一点称为物点的理想象点。物点与象点互相共轭。,第二章几何光学的矩阵方法,一. 理想光学系统,点对应点（每一物点对
8、应唯一像点）,直线对应直线,平面对应平面,二.共轴理想光学系统的放大率,(1)垂轴放大率,第二章几何光学的矩阵方法,2.3近轴 光学的基本公式,垂轴放大率,角放大率,轴向放大率,(2)角放大率,(3)轴向放大率,物平面沿光轴移动的微小距离,像平面沿光轴相应的移动距离,n=n :,三.共轴理想光学系统的基点和基面,若已知,两对共轭面的位置和放大率,或一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置,第二章几何光学的矩阵方法,2.3近轴 光学的基本公式,表征物象共轭关系的特征参量在光轴上的位置及对应面称为基点和基面,光学系统的基面、基点：,物方焦点，象方焦点,物方主平面（主点），象方主平面（主
9、点）,物方节平面（节点），象方节平面（节点）,表征物象共轭关系的几对特征共轭面、共轭点称为：基点和基面,1. 主平面、主点,表示物方主点，象方主点,主平面是垂轴放大率 的一对共轭面,D=D,D,D,2. 焦点、焦距,物方焦点F： 无限远轴上象点的共轭点。,象方焦点 ：无限远轴上物点的共轭象点。,F,B,B,、F： 非共轭点,1）焦点,物方焦距,象方焦距,2）焦距和光焦度,光焦度:,3. 节平面、节点,F,角放大率 的一对共轭点,若物像空间折射率相等，则主平面与节平面重合,二)光学系统的变换矩阵元素和基点的对应关系,2.3近轴 光学的基本公式,1.确定主平面:,为物方主平面与入射面，象方主平面与
10、出射面的距离,第二章几何光学的矩阵方法,的符号规定：主平面在光学系统之内，,的一对共轭面,设入射面到出射面间的光线变换矩阵为,有AD-BC=1,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,由,或,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.确定焦点、焦距,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,物方焦点定义为 无限远轴上象点的共轭点，以F表示,物方焦距,象方焦点 定义为无限远轴上物点的共轭象点，以 表示,象方焦距,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,的符号规则：F位于H之左，f0,同理，反向推导,无限远处物点的光线，,焦点位置：焦截距,2
11、.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,3.确定节平面、节点,P41表,n=n,作业2,将一块半径为r，折射率为n的半球面玻璃作为透镜，通过它的光线仅限于那些几乎与光轴相平行的光。若透镜的平面向左，试证明：第二主点就是凸面和光轴的交点（即顶点）。再证明：第一主点落在透镜内部，并与平面相距 ，且透镜的焦距等于,作业3,两个薄透镜在空气中组成共轴透镜组，前面一个是焦距15.0毫米的正透镜，后面一个是焦距-10.0毫米的负透镜，两透镜间距离d12.0毫米，求透镜组的主点和等效焦点的位置。,作业4,两个光焦度分别为 和 的正薄透镜，两透镜相距t，试证明：该透镜组的等效焦距是 。,2.3近轴
12、 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,三)透镜系统的物象关系式,1.物象关系公式,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.证明物象关系公式,换矩阵可用,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,3.物象垂直放大率,4.牛顿公式,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,1.,所有以同一方向 进入系统的光束均通过像面的同一点；即平行光束会聚到像方焦平面上。,四)光线变换矩阵元素为零所表示的特殊变换,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.,同一输入点b入射 的光线都将通过同一输
13、出点,物点与像点之间的变换,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,3.,所有相互平行进入系统的光线（入射角为 ），将以一个新的方向（出射角为 ）平行地出射 。,角放大率,望远镜系统（共焦系统）,将一束平行光变换成另一束平行光，只是方向改变,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,即: 从物方焦平面上入射的光束平行出射,4.,所有光线从同一点进入到入射面，最终以与光轴同,一方向（出射角为 ）出射，与光线进入系统,的方向 无关,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,例1.两薄透镜组合光学系统的光学参数和物象变换,（1）求光学参数,（2）讨论物像关系,解
14、（1）求光学参数,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,（2）讨论物像关系,第二章几何光学的矩阵方法,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,例2.连续变焦系统：广泛应用于电影、电视、摄像。,基本原理是改变组合透镜的等效焦距并保持象面位,置不变，使系统在变焦过程中获得连续清晰的像,相邻透镜的变焦量为,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,入射面到出射面,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.3近轴 光学的基本公式,第二章几何光学的矩阵方法,2.4 光线变换矩阵的特征值 与系统的特征光线,2.4光线变换矩阵的特征值,第二章几何光学
15、的矩阵方法,光学系统的特征变换对应等波面变换。,2.4光线变换矩阵的特征值,第二章几何光学的矩阵方法,即：入射光束和出射光束在光学系统的入射面和出射面处具有相同的波面参数,特征光线的横向放大比,当m0， y,y0同号，特征光线在光学系统内与光轴无实交点或偶数个实交点。,2.4光线变换矩阵的特征值,第二章几何光学的矩阵方法,光线变换矩阵的特征值表示了特征光线的轴向放大比,当m0， y, y0异号，特征光线在光学系统内与光轴至少有一个实交点或奇数个实交点。,作业5,作业6,有一块焦距为+8cm的正薄透镜，将其放在离一块焦距为-12cm的负薄透镜左侧6cm的地方。若将一个3cm高的物体放在这两个透镜的光轴上，并与正透镜的左端相距24cm。求最后成像的位置和大小。,2.6 光程函数的矩阵表示,2.6光程函数的矩阵表示,第二章几何光学的矩阵方法,2.6光程函数的矩阵表示,第二章几何光学的矩阵方法,P1到P2的光程差：,其中,位于不同纵向切面,P1到P2的光程差：,例：用光程函数表示式分析杨氏双缝干涉场,2.6光程函数的矩阵表示,第二章几何光学的矩阵方法,分析：,处于干涉场,2.6光程函数的矩阵表示,第二章几何光学的矩阵方法,例题:,一束平行光入射到一个干净的塑料球珠上,球珠的直径为2cm,折射率为1.4。问光束将聚焦在球珠外的哪一个点
