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1、1,第一章,控制系统的状态空间描述,状态空间描述是线性系统理论，乃至现代控制理 论中，最基本又最重要的内容之一。本章只重点介绍和讨论建立单输入-单输出线性定常系统状态空间描述的一些主要方法及相关问题，一是因为所讨论的方法具有代表性，二是这类系统在工业中目前仍占有很大比例。,2,本章主要内容,第一节 状态空间描述的基本定义及一般形式 第二节 根据系统机理建立状态空间表达式 第三节 由系统微分方程式转换为状态空间表达式 第四节 由系统传递函数转变为状态空间表达式 第五节 由系统的结构图建立状态空间表达式 第六节 由状态空间描述转换成传递函数描述 第七节 离散控制系统的状态空间描述,3,第一节 状态
2、空间描述的基本定义及一般形式,一、基本定义与概念 1.状态 动力学系统的状态，较严格和完整的定义，是指能完全描述 或确定系统动态行为的个数最少的一组变量。 定义中的“完全描述或确定” 的含义是指，如果给出了这组变量的各 初值和 时的系统输入量，那么，系统在 时的任何瞬间的行为都 能被完全确定。,定义中 “个数最少”的含义是指，对于所选定的一组变量，若减少了其中的一个， 则无法确定系统的行为，若再增加一个又没有必要。因此，要选择线性无关的变量 作为状态。,2.状态变量 构成系统状态中的每一个变量。常用 表示。 状态变量可以是物理量，或是一些物理量的组合；可以是能测量的，也 可以是不能量测的。但是
3、，从工程角度，状态变量应选择容易测量的物理 量为好，这对系统的分析和实施控制都会比较方便。,4,3、状态矢量 又称状态向量，把状态变量 ，视为向量 的 分量，则称 为状态矢量。常简写为 ，即,4. 状态空间 以状态变量 为坐标轴所构成的,维空间。,维空间是一个抽象的概念，但可以从几何学上的二维空间是一个 平面、三维空间是一个立方体地推广和联想。,5.状态方程 状态变量的导数与状态变量和输入量之间关系的一阶微分方程组 （连续系统）或一阶差分方程组（离散系统）。,5,6、输出方程 系统输出量与状态变量和输入量之间关系的代数方程。 输出量常用英文小写字母“,” 表示。,7、状态空间表达式 状态方程和
4、输出方程一起，称为系统的状态空间表达式， 或称为动态方程式，它构成了对系统动态行为的完整描述。,8、状态变量图 反映系统中各状态变量之间传递关系的图形。,系统的状态空间描述，是通过“状态空间表达式” 或（ 和）“状态变量图” 来表示的。,6,由定义可知，系统的状态空间表达式，应包含两个方程，一是状态方程，,1、单输入-单输出线性系统,一单输入单输出线性定常连续系统，设u为输入量，y为输出量。若系统有n个状态 变量 ，则根据状态方程的定义，它是由n个一阶微分方程式组成， 一般形式为,二、状态空间表达式的一般形式,二是输出方程。,（1）定常连续系统,7,输出方程表达式或一般形式为,式（1-1）和式
5、（1-2）构成了描述系统的状态空间表达式。写成向量矩阵式为,（1-1）,（1-2）,+,8,简写成,式中；,=,=,C,线性定常离散系统的状态空间表达式与线性定常连续系统的类同，只是定常,（2）定常离散系统, 状态方程, 输出方程,离散系统由向量差分方程组成而巳，简写形式如下,9,（3）时变系统,2、多输入-多输出线性系统,（1）线性定常系统,一多输入多输出线性定常系统，设有r个输入量,，,个输出量,若有n个状态变量 ， 则其状态方程的一般表达式为,10,输出方程的一般表达式为,（2）线性时变系统,11,3、非线性系统,输出方程的一般表达式为,状态方程，是用n个一阶非线性微分方程式来表示,12
6、,三、状态变量图的一般形式,线性系统状态空间描述也可用状态变量图表示。状态变量图由积分器、 比例器、加(减)法器和信号线组成。其中，积分器是用一个方框， 方框内画一个积分符号“,”或积分的拉氏变换“,，比例器也用一个方框，方框内写入其比例系数值；加(减)法器用小园圈,如图（1-1）所示。,”,13,根据系统的状态方程和输出方程容易绘制出其图形。例如，系统的状态空间表达式为, . 状态方程, .输出方程,其状态变量图，如图(1-2 )所示。,14,依据状态方程容易画出,正向传输通道和反馈通道；,依据输出方程可画出直接传输通道,图中，双线箭头表示信号传递的是向量信号，但为了绘图方便， 今后都简化为
7、单线箭头表示。具体的绘制方法和步骤，将在后面的章节 中结合实际的系统详细介绍。,15,第二节 根据系统机理建立状态空间表达式,一般的控制系统可根据系统内部信号所遵循的物理或化学定理或规律，去建立其状态空间表达式。 具体步骤如下：,(1) 确定系统的输入量和输出量；,(2) 根据系统内部信号所遵循的机理或物理、化学定律，列写出描述系 统动态特性的微分方程；,(3) 选择状态变量，把微分方程化为含状态变量的一阶微分方程组；,（4）表示成向量-矩阵方程形式。,下面通过例子说明，机理方法建立环节(或系统)状态空间表达式的方法和过程。,16,例 1-1 R-L-C电路如图1-3所示，试求其 状态空间表达
8、式并绘制其状态变量图。,解 (1) 输入量为,，设输出量为电容电压,(2) 根据电路理论中的相关定律有,(1-13),(1-14),17,(3) 电路中有两个独立的储能元件，电感和电容。选取电流,和电容电压,为状态变量，即,将式(1-13) 改写成为状态变量 的一阶微分方程式,（1-15）,将式(1-14) 改写为状态变量 的一阶微分方程式,（1-16）,18,式(1-15) 和(1-16) ，便组成了图1-3所示的R-L-C电路的状态分程,(1-17),输出量用,表示，由状态变量可知，输出方程为,=,=,(1-18),式（1-17）和式（1-18），构成了图（1-3）电路的状态空间表达式。,
9、19,(4) 用向量-矩阵方程式表示,或简写成,20,；,A=,b=,；,C=,状态变量图的绘制方法和步骤是，,首先画出二个积分器（积分器的个数等于状态变量的个数），并把它们画 在适当的位置上；把每个积分器的输出表示为某个状态变量；然后,根据状 态方程式（1-17）和输出方程式（1-18），画出相应的比例器和加法器； 最后用带箭头的信号线按信号的流通方向将这些元件连接起来 。 其状态变量图，如图1-4所示。,21,22,对于例1-1的R-L-C电路，若选取电流和电流的积分为状态变量，即,由式(1-14) ，有,(1-21),上式代入式(1-13) ，消去中间变量,后，式(1-13)可改写为,（
10、1-22）,23,写成矩阵方程：,(1-26),24,比较式(1-19)和式(1-26)，状态空间表达式是不同的。,要指出的是，下面章节将证明，环节（或系统）的传递 函数、表征动态性能的特征根都是相同的。,1-2 电枢控制的直流电机如图1-5所示，建立其动态方程。.,例,25,解 电枢控制的直流电机，可视为是单输入（电枢电压）单输出（速度）的部件，,但要同时考虑电枢电压和负载干扰时的数学模型，可视为双输入单输出的部件。,(1) 输入量为电枢电压,和负载转矩,，输出量为电动机轴上的角速度,(2) 列写微分方程 由电机学和电机拖动，,（1-28）,(1-29),26,(1-30),(1-31),(
11、3) 选择状态变量 有两个独立的储能元件，一是电枢电感,二是电机轴上的转动惯量,。,选储能元件上的物理量，电枢电流,和电动机轴上的角速度,为状态变量,27,式(1-28) 中 ，,是中间变量。式(1-29) 代入式(1-28) ，,消去式(1-28) 中的中间变量,并改写成电枢电流,为状态变量的,一阶微分方程式，,(1-32),式 (1-31) 代入式(1-30) ，消去式(1-30) 的中间变量,后，,并改写为角速度,为状态变量的一阶微分方程式，有,(1-33),28,式(1-32) 和式(1-33) ，组成了电枢控制的直流电机的状态方程,(1-34),输出量为,，用,表示，输出方程为,(1
12、-35),式（1-34）和式（1-35）构成了电枢控制的直流电机的状态空间表达式,29,第三节 由系统微分方程式转换为状态空间表达式,设描述系统的n阶微分方程式为,（1-39）,由第一节可知，系统的状态空间表达式用矢量-矩阵方程表示时为,（1-40）,可见，要将微分方程式转变为状态空间表达式的关键问题，一是如何 选择系统的状态变量，二是怎样由微分方程系数确定出矩阵,、c及d 中的元素值。下面分两种情况讨论。,30,一、输入信号不含有导数项的情况,系统的微分方程为,(1-41 ),(1) 选择状态变量,选取输出及其各阶导数为状态变量，即,(1-42),31,（2）状态方程,对式（1-42）的状态
13、变量求导数，并考虑式（1-41），可得,（1-43）,32,式(1-43) 的状态方程组可用向量矩阵方程表示,（1-44）,(3 )输出方程,由状态变量式(1-42)可知，系统的输出方程为,（1-45）,33,用矩阵方程表示,(1-46),（4）状态空间表达式,式(1-43) 和式(1-45) ，构成了描述系统微分程式(1-41)的状态空间表达式。 式(1-44) 和式(1-46) ，构成了矢量-矩阵方程表达式。状态空间表达式简写成,（1-47）,34,；,；,；,35,（5）状态变量图,36,例1-3 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为,试列写状态空间表达式，并画出状态变量图。,解 选取
14、状态变量,，,，,，则由式（1-43）得状态方程为,37,写成矩阵形式,系统的输出方程为,写矩阵形式,38,状态变量图,注意：系统微分方程式（1-41），若选取另一组状态变量，则具有另一 种状态空间的表达式,39,系统微分方程式（1-41），若选取另一组状态变量，则具有另一种状态空间 的表达式。例如，若选状态变量为,.,40,则状态方程为,(1-49),41,输出方程，由状态变量式（1-48），有,式(1-49) 的状态方程和式(1-50) 的输的方程，组成了另一种状态空间表达式。,(1-50),42,写成矩阵方程形式,43,44,二、输入信号含有导数项的情况,这种情况时，不能采用上面的方法选
15、状态变量。,通常把状态变量取为输出和输入导数的某种适当的组合。,1）、状态变量,为避免在状态方程中出现输入量的导数项，可选如下一组状态变量,.,（1-53）,45,式中，,，,，. ，由微分方程中的系数按下式计算,；,； （1-54）,46,（2）、状态方程,对状态变量式（1-53）求导数，可推演出其状态方程式如下,（1-55）,47,（3）输出方程,由状态变量式（1-53）的第一行，可得输出方程,（1-56）,（4）状态空间表达式,（1-57）,48,简写为,说明： 若输入量中仅含有,次导数，而,，则可以把高于,次输入导数项的系数当作零来处理，上面公式仍适用。,49,例1-4 设系统的微分方程为,求系统的状态空间表达式。,解 对应微分方程式（1-52）可知，系统阶数,=3，,=640,=192；,18；,= 640，,=160，,=0，,。,50,状态变量，由式（1-53）可得,系数,，由式（1-54）可得,51,参照式（1-55），其状态方程为,参照式（1-56），输出方程为,52,第四节 由系统传递函数转变为状态空间表达式,当线性定常系统的数学模型用传递函数表示时，主要有两种表达形式， 一种是其分子分母均为s的多项式；另一种是零-极点型式。本节介绍和 讨论把它们转变为状态空间表达式的方法。,一、系统传递
