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1、, 8.3 高斯定理,法拉第 Michael Faraday 17911867,一、电通量,1 定义,定义：场强穿过面元dS电通量,通过任一面元的电力线的条数，称为通过这一面元的电场强度通量（简称电通量）。,面元在垂直于场强方向的投影是 ，,通过它的电通量等于穿过面元 的电通量。,是面元 的法线方向， 是场强 的方向与面元 法向 的夹角。,通量为标量，其正负由场强的方向与面元法向间的夹角确定。,d 0，通量为正。,d =0，对通量无贡献。,d 0，通量为负。,穿过任意曲面S的电通量,穿过闭合曲面（GAUSS面）的电通量,规定：对非闭合曲面，正法向的选择是任意的，对闭合曲面取外法线方向为正向。,
2、电力线穿出闭合面为正通量，,电力线穿入闭合面为负通量。,对非闭合曲面，必须首先选定正法向，通量才有意义。,4）类比 Electric flux and your hairs,How much of something（E） is passing through some surface Ex: How many hairs passing through your scalp （头皮）.,Two ways to define Number per unit area (e.g., 10 hairs/mm2) This is NOT what we use here. Number passin
3、g through an area of interest e.g., 48,788 hairs passing through my scalp. This is what we are using here.,电力线性质，规定：垂直穿过单位面积的电力线的根数等于电场强度的大小。,5）Geometry and Surface Integrals,If E is constant over a surface, and normal to it everywhere, we can take E outside the integral, leaving only a surface area
4、,z,R,L,R,高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）,高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795-1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1855年2月23日在哥廷根逝世。,高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发
5、表178项），在各领域的主要成就有：,Gauss生平,高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上,物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。 天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。 结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。 在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为高斯（
6、1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位），便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。,二、高斯定理的引出,(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内,若以2r为半径计算电通量，仍然为q/0,与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。,2r,三. 高斯定理表述,真空中通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 。,定理中的“闭合曲面”通常又称其为“高斯面”,四、定理的逐步验证,（1）设闭合曲面是一半径为 的球面，其包围一个位于球心的电荷 ，则计算通过该闭合曲面的电通量,今以 为中心作一半径 为 的球面，由于电场线在空间连续不中断，显
7、然，通过球面与通过闭合曲面 的电场强度通量相等 即,（2）任意闭合曲面 内包围一点电荷,有电场线连续，则穿入和穿出曲面 的电场线数相等，则穿出闭合曲面 的电场强度通量为零。 即,（3）任意闭合曲面 ，不包围电荷，点电荷 位于闭合曲面外，情况如何？,（4）任意闭合曲面 内有点电荷 曲面外有点电荷 ，则通过该闭 合曲面的电场强度通量,讨论：,c、若封闭面不是球面，积分值不变。,电量为q的正电荷有q/0条电力线由它发出伸向无穷远,电量为q的负电荷有q/0条电力线终止于它,b、若q不位于球面中心，积分值不变。,(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。,因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面
8、内出来。,(3) 场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体)， 高斯面为任意闭合曲面,五、高斯定理的理解,a. 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷（面内外电荷）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。,因为曲面外的电荷（如 ）对闭合曲面提供的通量有正有负才导致 对整个闭合曲面贡献的通量为0。,1、表象理解,b . 对连续带电体，高斯定理为,表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。,静电场是有源场,表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。,Gauss定理是静电场的基本规律之一，反 映了静电场是有源场； 高斯定理中的场强是由面
9、内外全部电荷产生的； 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷量，与电荷分布无关，与闭合曲面外的电荷无关，与闭合曲面的形状、大小无关； = 0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号； =0，不一定高斯面上各点的场强为 0； 对于静止电荷的电场，Coulomb定律和Gauss定理等价，但对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而Gauss定理仍然有效，即Gauss定理可推广到一般电场；,明确几点,Gauss定理由Coulomb定律和叠加原理导出，具有求场分布和电荷分布的能力： 当场E已知时，由Gauss定理可求电荷分布电动力学； 当已知电荷分布，由Gauss定理可求场分布。,明确几点,由Ga
10、uss定理可知，由于定理仅揭示了通量与源而非源电荷的分布间的关系，因此一般不能由Gauss定理求场分布。可见， Gauss定理对电场的描述是不完备的。仅当电荷分布具有特殊对称性，因而场也具有相应对称性时，才能由Gauss定理求场。,六、用Gauss定理求场的条件,电荷分布（因而场分布）要有特殊对称性（如：球对称性、球面对称性、柱面对称性和面对称性等）； 选择具有相应对称性的Gauss面，使得Gauss面上各点的场强大小为常量，与曲面法向的夹角是常数，或在曲面不同区域上场强为零或分区常矢量。,七、解题方法及应用举例,解题步骤：,分析电荷分布和场分布的对称性 选择具有相应对称性的Gauss面 建立
11、适当的坐标系 计算通量和面内电荷代数和 由Gauss定理求出场并讨论。,例1：计算半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体场分布。,解：场具有与场源同心的球对称性。故选同心球面为高斯面。场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。,当 时，Gauss面内电荷为q，所以,可见均匀带电球体外任一点的场强等效与将全部电荷集中 于球心的点电荷激发的场。,当 时，Gauss面内电荷为,例2：求无限长均匀带电直线的场强分布。线电荷密度为 ，计算电场强度 E 。,解：距离导线 r 处一点 p 点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向，并且和 P点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都相等，都沿径
12、向。,以带电直导线为轴，作一个通过P点，高为l 的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过S面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量。,因上、下底面的场强方向与底面平行，其电通量为零。即式中后两项为零。,此闭合面包含的电荷总量,其方向沿场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。,例3：求无限大均匀带电平板的场强分布。面电荷密度为 。,解：由于电荷分布对于场点 p到平面的垂线 op 是对称的，所以 p 点的场强必然垂直于该平面。,又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，当 0场强指离平面。当 0 场强方向指向平面。,选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面 S，带电平面平分此圆筒，场点 p位于它的一个底面上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。,场强方向垂直于带电平面。,场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,
