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1、中考冲刺：代几综合之动点问题（上）1. 应用轴对称的性质求最值（1）理论依据：两点之间线段最短。（2）基本题型：点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点C，使ACBC最短。（3）解题方法：作点A关于直线m的对称点，连接交直线m于点C，点C就是所求点。注意：利用轴对称的性质把两条折线转化为一条线段。2. 应用二次函数求最值（1）理论依据：二次函数当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值。（2）基本题型：如图，在矩形ABCD中，AB6，BC12，BQ2AP。设APx，PBQ的面积为y。求y的最大值。（3）解题方法：所以，当x3时，y最大为9。注意：在变化中构建二次函数，
2、利用顶点式求最值。例题1 （苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上。顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PAPC的最小值为（）A. B. C. D.解析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，过D作DNOA于N，则此时PAPC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案。答案：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，过D作DNOA于N，则此时PAPC的值最小，DPPA，PAPCPDPCCD，B（3，），AB，OA3，B60，由勾股定理得：OB2，由三角形面积公式得：OAABOBAM
3、，AM，AD23，AMB90，B60，BAM30，BAO90，OAM60，DNOA，NDA30，ANAD，由勾股定理得：DN，C（，0），CN31，在RtDNC中，由勾股定理得：DC即PAPC的最小值是，故选B。点拨：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是确定P点的位置。例题2 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF2，BF1。试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。解析：要求矩形PNDM的面积，应设DNx，NPy，则矩形PNDM的面积为Sxy，再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解。答案：
4、作BQPN，交PN于点Q，则四边形CBQN为矩形，AFBBQP，设矩形PNDM的边DNx，NPy，则矩形PNDM的面积Sxy（2x4），易知CN4x，EM4y，即此二次函数的图象开口向下对称轴为x5当x5时，函数值随x的增大而增大2x4，当x4，即PM4时，S有最大值点拨：此题综合考查比例线段、二次函数等知识。解决此题的关键在利用相似构建函数关系，利用函数的性质求出最大值。代几综合的动点最值问题中往往利用轴对称的性质，把问题转化成“两点之间线段最短”问题；或者在变化过程中组建新的二次函数，利用顶点式求最值。无论用哪种方法，数形结合的思想是关键，分析问题时必须结合图象。例题 如图，抛物线yx2b
5、xc与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由。解析：（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；（2）设出点P的坐标，将BCP的面积表示成二次函数，根据求二次函数最值的方法即可求得点P的坐标。答案：（1）将A（1，0），B（3，0）代入中得抛物线的解析式为：（2）过点P作PE平行y轴，交直线BC于点E设直线BC的解析式为把点B、C的坐标代入得解得：直线BC的解析式为设P点（x，）（3x0
6、）则E点（x，x3）PE当时，PBC的面积最大，为点拨：此题考查了二次函数的综合应用，要注意面积的最值问题转化为了线段的最值问题，由原来的二次函数转化为新的二次函数进而求解，特别是利用了数形结合的思想。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 菱形ABCD的边长为4，BAD60，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AECF4，则BEF面积的最小值为（）A. B. C. D. 2. （黔西南州）如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，m的值是（）A. B. C. D. 3. （徐州二模
7、）如图，在ABC中，C90，AC4，BC2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是（）A. 6 B. C. D. 4. （兰州）如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（）A. 130B. 120C. 110D. 100二、填空题5. 已知点A（2，3）和点B（3，2），点C是x轴上的一个动点，当ACBC的值最小时，则点C的坐标为。6. 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PCPD最小时，PCD_。7.（碑林
8、区二模）如图，在ABC中，AB15，AC12，BC9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是。*8.（泸州）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是。三、解答题*9. 如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CMDM的值最小时，求m的值。*10. （株洲）如图，直角ABC中，C90，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP。（1）求AC、BC的长
9、；（2）设PC的长为x，ADP的面积为y。当x为何值时，y最大，并求出最大值。一、选择题1. B 解析：菱形ABCD的边长为4，BAD60；ABD与BCD为正三角形；BD4，AC4，ABE的边AE上的高与BCF的边CF上的高都为2，ADC120；设AE为x，则CF为4x；SDEFEDDFsin120（4x）4（4x） x2x由图示可知：SBEFS菱形ABCDSABESBCFSDEF44CFAESDEF8（CFAE）SDEF84SDEFx2x4根据二次函数的性质，BEF面积的最小值2. B 解析：点A（1，0）在抛物线yx2bx2上，（1）2b（1）20，b，抛物线的解析式为yx2x2，顶点D的
10、坐标为（，），作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC2连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD的值最小。 设抛物线的对称轴交x轴于点E。EDy轴，OCMEDM，COMDEMCOMDEM即m3. D 解析：作AC的中点D，连接OD、DB，OBODBD，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，D是AC中点，ODAC2，BD2， 点B到原点O的最大距离为224. B 解析：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值。作DA的延长线AH，DAB120，HAA60，AAMAHAA60，MAAMAA，NADA，且MAA
11、MAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2（AAMA）260120二、填空题5. （1，0） 解析：A关于x轴的对称点A的坐标是（2，3），设AB的解析式是ykxb，把A，B的坐标代入得：，解得：。则直线AB的解析式是yx1。令y0，解得：x1，则C的坐标是：（1，0）。6. 45 解析：当PCPD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出PCD457. 7.2 解析：在ABC中，AB15，AC12，BC9，AB2AC2BC2，ABC为Rt，C90，即知EF为圆的直径，设圆与AB的切点为D，连接CD，当CD垂直于AB，
12、即CD是圆的直径时，EF长度最小，最小值是7.2。8. 10 解析：圆心为O，连接OD，OC，过O作OECD，过C作CPOB，E为DC的中点，DECECD，等腰梯形ABCD，DCAB， OEAB，CEOEOPOPC90，四边形EOPC为矩形，ECOP，则OAOBOCOD2，设腰长为x，上底长是2b，周长为y，过C作直径的垂线，垂足是P，则CP2OC2OP2CB2PB2，即x2（2b）222b2，整理得b2，所以y42x2b42x42x8，该梯形周长的最大值是：10。三、解答题9. 解：（1）点A（1，0）在抛物线yx2bx2上，（1）2b（1）20，解得：b，抛物线的解析式为：yx2x2。yx2x2（ x23x4 ），顶点D的坐标为 （，）。（2）设点C关于x轴的对称点为C，直线CD的解析式为ykxn，则，解得：。yx2当y0时，x20，解得：x。m。10. 解：（1）在RtABC中，得，AC2，根据勾股定理得：BC4 （2）PDAB，ABCDPC，设PCx，则，当x2时，y的最大值是1。第13页
