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1、课时跟踪训练课时跟踪训练(四十一四十一) 基础巩固 一、选择题 1如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为 8 的矩形则该几何体的表面积是( ) 2 A8 B208 2 C16 D248 2 解析 由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱 柱，其侧棱为 4，故其表面积 S表 242424 222208. 2 1 22 答案 B 2已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为( ) A. B. 3 12 3 4 C. D. 6 12 6 4 解析 VB1ABC1VC1ABB1 11. 1 3 1 2 3 2 3 12 答
2、案 A 3(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数 学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图， 米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约 为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 解析 米堆的体积为 25 .将 3 代 1 4 1 3 ( 8 4 2 ) 320 3 入上式，得体积为立方尺从而这堆米约有22(斛) 320 9 320 9 1.62
3、 答案 B 4(2017河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积为( ) A24 B243 C24 D242 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖去右 下方 球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2 为半径，则该几何 1 8 体的表面积为 2263 22 42224，故选 1 4 1 8 A. 答案 A 5(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该 几何体的体积(单位：cm3)是( ) A. 1 B. 3 2 2 C.1 D.3 3 2 3 2 解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一 个三棱锥组成的，故该几何体的体积 V 3
4、213 1，故选 A. 1 3 1 2 1 3 1 2 2 答案 A 6(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和 左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2， 俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为( ) A10 B12 C14 D16 解析 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底 面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角 形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，三棱 锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和 为212，故选 B. 24 2 2 答案 B
5、 二、填空题 7(2017天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若 这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_ 解析 由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为.设该正 3 方体外接球的半径为 R，则 2R3，R ，所以这个球的体积为 3 2 R3. 4 3 4 3 27 8 9 2 答案 9 2 8下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是 _ 解析 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图 所示，(半)球的半径为 1，长方体的长、宽、高分别为 2、2、1， 该几何体的表面积为：S16 4121216. 1 2 答案 16 9(2017山东卷)由一个长方体和两个 圆
6、柱体构成的几何体的 1 4 三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 解析 由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分 别为 2,1,1，其体积 V12112； 两个 圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径 r1，高 1 4 h1，故其体积 V2 121 . 1 2 2 故该几何体的体积 VV1V22 . 2 答案 2 2 三、解答题 10如图，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135， AB5，CD2，AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几 2 何体的表面积及体积 解 由已知得：CE2，DE2，CB5， S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522 (604)，
7、 22 VV圆台V圆锥 (2252) 1 322522 4 222. 1 3 148 3 能力提升 11(2015全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大 值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 解析 如图，设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 O 的半径为 R，因为AOB90，所以 SOAB R2，要使 VOABC SOABh 最 1 2 1 3 大，则 OA，OB，OC 应两两垂直，且(VOABC) max R2R R336，此时 R6，所以球 O 的表面积为 S球 1 3 1
8、2 1 6 4R2144.故选 C. 答案 C 12(2017重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为( ) A. B2 C. D3 3 3 23 5 3 23 解析 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体 ABB1DC1C，其体积是底边边长为 2 的等边三角形，高为 3 的正三棱 柱 ABCA1B1C1的体积减去三棱锥 AA1C1D 的体积，即 3 3. 3 1 3 3 2 5 3 2 答案 C 13(2017河南南阳一中四模)球 O 为正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，AB2，E，F 分别为棱 AD，CC1的中点，则直线 EF 被 球 O 截得的线段长为_ 解析
9、 设 EF 与球面交于 M，N 两点，因为 AB2，E，F 分 别为棱 AD，CC1的中点，所以 EF，OEOF，取 EF 中点 62 O，则 OF，所以 OO.由球 O 为正方 6 2 22( 6 2)2 2 2 体 ABCDA1B1C1D1的内切球，可得 ON1，由勾股定理得 ON，故 MN.所以直线 EF 被球 O 截得的线段长为. 2 222 答案 2 14如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD2，PAPC2，若在这 2 个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_ 解析 由已知得，PAD，PDC，PAB，PBC 都是直角
10、三角形设内切球的球心为 O，半径为 R，连接 OA，OB，OC，OD，OP，易知 VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即 222 22R 22R 22R 2 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 22 1 3 1 22 2R 22R，解得 R2，所以此球的最大半径是 1 3 1 22 2. 2 答案 2 2 15如图，在直三棱柱 ABCABC中，ABC 为等边三 角形，AA平面 ABC，AB3，AA4，M 为 AA的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC到 M 的最短路线长 为，设这条最短路线与 CC的交点为 N，求： 29 (1)该三
11、棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与 NC 的长； (3)三棱锥 CMNP 的体积 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形， 故对角线长为. 429297 (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB展开，如下图， 设 PCx，则 MP2MA2(ACx)2. MP，MA2，AC3， 29 x2，即 PC2. 又NCAM，故，即 . PC PA NC AM 2 5 NC 2 NC . 4 5 (3)SPCN CPCN 2 . 1 2 1 2 4 5 4 5 在三棱锥 MPCN 中，M 到面 PCN 的距离， 即 h3. 3 2 3 3 2 VCMNPVMPCN hSPCN
12、. 1 3 1 3 3 3 2 4 5 2 3 5 16(2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角 形，ADCD. (1)证明：ACBD； (2)已知ADC 是正三角形，ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D 不 重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积 比 解 (1)证明： 取 AC 的中点 O，连接 BO、DO，如图所示 因为 ADCD，所以 ACDO.又由于ABC 是正三角形，所以 ACBO. 从而 AC平面 DOB，故 ACBD. (2)连接 EO. 由(1)及题设知，ADC90，所以 DOAO. 在 RtAOB 中，BO2AO2AB2
13、.又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90. 由题设知AEC 为直角三角形，所以 EO AC. 1 2 又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO BD. 1 2 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ， 1 2 1 2 即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11. 延伸拓展 (2017安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为的正方形硬纸， 2 按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心) 与蛋巢底面的距离为( ) A. B. 2 2 1 2 6 2 1 2 C. D. 3 2 3 2 1 2 解析 蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截 鸡蛋所得的截面圆的直径为 1.因为鸡蛋的表面积为 4，所以球的半 径为 1，所以球心到截面的距离 d，而截面到底面的距 11 4 3 2 离即为三角形的高 ，所以球心到底面的距离为 . 1 2 3 2 1 2 答案 D
