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1、课时跟踪训练(十五)基础巩固一、选择题1已知函数f(x)x22cosx，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是()解析设g(x)f(x)2x2sinx，g(x)22cosx0，所以函数f(x)在R上单调递增答案A2若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为()A(，0)B(，2)C(2，1)D(2,0)解析设幂函数f(x)x，因为图象过点，所以，2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，令g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)答案D3.如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中
2、正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析由图可知，当3x0时，f(x)0)的单调递增区间为()A.BC.D(，a)解析由f(x)a0，得0x0，f(x)1.要使函数f(x)xalnx不是单调函数，则需方程10在x0上有解，所以a2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)解析由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，
3、而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，选B.答案B二、填空题7函数f(x)x2ax3在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析f(x)2xa，f(x)在(1，)上是增函数，2xa0在(1，)上恒成立即a2x，a2.答案(，28已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即x(，1)(1，)答案(，1)(1，)9已知函数f(x)axx3，
4、若对区间(0,1)上的任意x1，x2，且x1x2x1成立，则实数a的取值范围是_解析问题等价于函数g(x)f(x)x在区间(0,1)上为增函数，即g(x)a13x20，即a13x2在(0,1)上恒成立，即a4，所以实数a的取值范围是4，)答案4，)三、解答题10已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x
5、)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)能力提升11已知函数f(x)xsinx，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)解析由f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)，知f(x)是偶函数f(x)sinxxcosx，当0x0，所以f(x)在(0，)上为增函数又01，所以ff(1)f(1)f.故选A.答案A12(2017湖北华北师大附中模拟)若f(x)exaex为偶函数，则f(x1)的解集为()A(2，)B(0,2)C(，2)D(，
6、0)(2，)解析由f(x)exaex为偶函数，得f(x)f(x)(1a)(exex)0恒成立，所以a1，即f(x)exex，则f(x)exex.当x(，0)时，f(x)0，即f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，且图象关于y轴对称由f(x1)f(1)得|x1|1，解得0x2，即f(x1)0)设g(x)2x2(a6)xa(x0)，因为函数f(x)在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g(x)2x2(a6)xa(x0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零又g(0)a，g(3)4a，所以解得0a3时，g(x)0，当x3时，g(x)0，所以exf(x)ex(x22)在R上单调递增，故f(
7、x)x22具有M性质故填.答案15(2015全国卷改编)已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(2，)上为单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时f(x)在单调递增，在单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，符合要求；当a0时，f(x)在上单调递减，则2，即a.实数a的取值范围是(，0.16(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.讨论f(x)的单调性解f(x)(x1)ex2
8、a(x1)(x1)(ex2a)()设a0，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增()设a，则ln(2a)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0)若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_解析f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案1，)
