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1、课时跟踪训练(四十一) 基础巩固一、选择题1如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形则该几何体的表面积是()A8 B208C16 D248解析由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表242424222208.答案B2已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.解析VB1ABC1VC1ABB111.答案A3(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如
2、图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析米堆的体积为25.将3代入上式，得体积为立方尺从而这堆米约有22(斛)答案B4(2017河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()A24 B243 C24 D242解析由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为22632242224，故选A.答案A5(2017浙江卷)某几何体的三视图如
3、图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V32131，故选A.答案A6(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16解析由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为
4、2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为212，故选B.答案B二、填空题7(2017天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R3，R，所以这个球的体积为R3.答案8下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_解析该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，该几何体的表面积为：S164121216.答案169(2017山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几
5、何体的体积为_解析由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V12112；两个圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r1，高h1，故其体积V2121.故该几何体的体积VV1V22.答案2三、解答题10如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.能力提升11(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体
6、积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256解析如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为AOB90，所以SOABR2，要使VOABCSOABh最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VOABC)maxR2RR336，此时R6，所以球O的表面积为S球4R2144.故选C.答案C12(2017重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B2 C. D3解析该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB1DC1C，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABCA1B1C1的体积减去三棱锥AA1C1D的体积，即33.答案C13(
7、2017河南南阳一中四模)球O为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，AB2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为_解析设EF与球面交于M，N两点，因为AB2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF，OEOF，取EF中点O，则OF，所以OO.由球O为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，可得ON1，由勾股定理得ON，故MN.所以直线EF被球O截得的线段长为.答案14如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，且PD2，PAPC2，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析由已知得，PAD，PDC，PAB，PBC都
8、是直角三角形设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP，易知VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即22222R22R22R22R22R，解得R2，所以此球的最大半径是2.答案215如图，在直三棱柱ABCABC中，ABC为等边三角形，AA平面ABC，AB3，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.(2)将该三棱柱
9、的侧面沿棱BB展开，如下图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.VCMNPVMPCNhSPCN.16(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ADC是正三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解(1)证明：取AC的中点O，连接BO、DO，如图所示因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，故ACB
10、D.(2)连接EO.由(1)及题设知，ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.延伸拓展(2017安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B.C. D.解析蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的表面积为4，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d，而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.答案D
