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1、课时跟踪训练(五十一)基础巩固一、选择题1(2017江西九江一模)若双曲线mx22y22的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为()A2 B. C2 D.解析双曲线方程为y21，4，m，双曲线的焦距为2，故选A.答案A2(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析依题意得，双曲线的离心率e，因为a1，所以e(1，)，选C.答案C3(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2
2、时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴；又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以(1,0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.答案D4(2017天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析由OAF是边长为2
3、的等边三角形可知，c2，tan60，又c2a2b2，联立可得a1，b，双曲线的方程为x21.答案D5(2018广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8 C24 D48解析依题意，得F1(5,0)，F2(5,0)，|F1F2|10.3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则|PF1|x.由双曲线的性质知xx2，解得x6.|PF1|8，|PF2|6，F1PF290，PF1F2的面积8624.故选C.答案C6(2016天津卷)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
4、两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有则xyb212.故所求双曲线的方程为1，故选D.答案D二、填空题7若双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，则该双曲线的方程为_解析设双曲线的方程为x24y2(0)，焦距2c10，c225，当0时，1，25，20；当0)的左、右焦点和点P(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于_解析设双曲线1(b0)的左、右焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，依题意，kPF1kPF21，c23，b21，b1.答案19(2017全
5、国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，圆心A到此渐近线的距离d，因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin60，即，所以e.答案三、解答题10如图，已知F1、F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程解(1)PF2F190，PF1F230.在RtPF2F1中，|PF1|，|PF2|PF1|，又|PF1|PF2|2a
6、，即c2a，e.(2)对于双曲线，有c2a2b2，b .双曲线的渐近线方程为yx.能力提升11(2017广东佛山一中段考)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2y2a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|CF2|，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|CD|CF2|，|DF1|2a，由题意，切线的斜率为，切线方程为y(xc)，与yx垂直，2ab，ca，e，故选B.答案B12(2017吉林长春市二模)已知双曲线C1：y21，双曲线C2：1(a
7、b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是()A32 B16 C8 D4解析双曲线C1：y21的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程为yx，可得|F2M|b，即有|OM|a，由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，且，解得a8，b4，c4，即有双曲线的实轴长为16，故选B.答案B13(2017江西上饶一模)已知双曲线方程为1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意，2，a2，b，e
8、 ，e1，10，b0)，其右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B，D，使ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是_解析双曲线C的渐近线方程为yx，要使ABD为正三角形，则只需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线yx的斜率，ba.即b2a2，则c2a2a2，即ca，则e1，所以1e.答案1e0，b0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点若|AB|CD|，则双曲线M的离心率是_解析设双曲线的右焦点为F(c,0)，易知，|AB|.该双曲线的渐近线方程为yx，当xc时，y，所以|CD|
9、.由|AB|CD|，得，即bc，所以ac，所以e.答案16设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，O为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解(1)由题意知a2.一条渐近线为yx，即bxay0，右焦点的坐标为(c,0)，由焦点到渐近线的距离为，得.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线的方程yx2代入双曲线的方程1，得x216x840，则x1x216，y1y
10、2(x1x2)412，t4，点D的坐标为(4，3)延伸拓展1(2017福州市高三质量检测)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|，则双曲线E的离心率是()A2 B. C. D.解析如图所示，设PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a|PF1|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|AF1|PA|AF1|(|PM|AQ|)，|PF2|PM|MF2|PM|QF2|PM|(|AF2|AQ|
11、)所以2a2|AQ|2，即a.因为|F1F2|6，所以c3，所以双曲线E的离心率是e，故选C.答案C2(2017武汉武昌区高三三调)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析设实轴长为2a，虚轴长为2b，令AOF，则由题意知tan，在AOB中，AOB1802，tanAOBtan2，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan2，解得2或(舍去)，b2a，ca，e.故选C.答案C
