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1、第四节 行列式按行（列）展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式 来计算？,一、余子式的概念,定义1：,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,例1 写出行列式第一行各元素对应的代数余子式。,二、行列式按某一行（列） 展开的定理,定理1.4：,n阶行列式,等于它的任意一行（列）,的各元素与其对应代数余子式乘积的和，,
2、即,或,证明：,（先特殊，再一般）,分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。,(1),假定行列式D的第一行除,外都是 0 。,由行列式定义，D 中仅含下面形式的项,其中,恰是,的一般项。,所以，,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0 。,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,i 行依次与第,行，第,行，,第2行，第1行交换；再将第,列依次与第,列，,第,列，,第2列，第1列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤。,由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，,(3),一般情形,例如，行列式,按第一行展开，得,证毕。,定理1.5：,证明：,由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数
3、余子式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即,则，,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行(列)含 有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理 论上是重要的。,利用行列式按行(列)展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非
4、零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 三、应用,例2.分别按第一行、第二列展开行列式：,D =,解：,（1）按第一行展开,D =,（2）按第二列展开,D=,例2.计算行列式：,解：将D按第三列展开，则应有 其中：,例3.讨论当K为何值时,解：,所以，当,（按第一列展开）,按第二列展开,例5.求证,从第二行开 始，后一行的 -1倍加到前一 行。,按第一 列展开,从第二行 开始，后 一行的-1 倍加到前一 行。,练习1 计算n阶行列式,1.,2.,解：,(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得,将第一行乘（-1）后分别加到其
5、余各行，得,解（2）：,按第二行展开=,数学归纳法,对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2. 当n=k(kN*，kn0)时命题成立， 当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法就叫做 。,数学归纳法,正整数n,假设,证明,例1、如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立,(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时，结论也成立.,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,利用假
6、设,变式2：用数学归纳法证明： 122334n(n1),从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1),=, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,例7:,用数学归纳法,(1) 当n=2时,结论成立。,证明：,(2) 设n1阶范德蒙德行列式成立，可证n阶也成立。,n-1阶范德蒙德行列式,证毕。,例:,1.形式:按升幂排
7、列,幂指数成等差数列. 2.结果:可为正可为负可为零. 3.共n(n-1)/2项的乘积.,对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果.,你能识别出范德蒙行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,关于范德蒙行列式注意以下点,练习1如：,1、4列对换；2、3列对换得：,练习2 计算阶行列式（其中,）,【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.,递推法求行列式,解：给定行列式为n+1阶行列式,那么行列式按第一行展开,杂例行列式练习：,第n+1列加到第n列, 第2n列加到第1列.,也可用按行或列展开做.,按第一行展开。,(按第一行展开),记住这
8、类题的解法!,代数余子式求和 例,解：观察a11=1，a21=-1，a31=1， a41=-1，那么可以得到,由于行列式,练习1 已知4阶行列式D4=,试求,，其中,为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。,解：,练习2,解：对D2n按第一行展开，得,据此递推下去，可得,例 计算行列式,解 当x0 或y0时，显然D0，现假设x0，且y0，把行列式添一行和一列保持值不变,返回,上一页,下一页,2列*1/x+1列 3列*（-1/x）+1列 4列*1/y+1列 5列*（-1/y）+1列,加边法 求行列式的值,证明,方法一：数学归纳法法 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时，可直接验算结论
9、成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：,但由归纳假设,从而有,方法2.加边法,证明：加一行和一列保持原式值不变,第一行乘以-1加到以后各行得,从第二列开始每一列乘以1/ai加到第一列得,按第一列展开,拉普拉斯定理求行列式的值,定理：在n阶行列式D中，任意取定k行（列）（1k n-1)，由这k行（列）组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。,例 利用拉普拉斯定理求行列式的值。,.,解：按第一行和第二行展开,练习：计算行列式的值,解：交换行列式的行和列 D=,练习：求方程f(x)=0的根，其中
10、f(x)=,解:由观察可知x=0是一个根，因为若x=0，行列式1、2列成比例，所以f(x)=0. 要求其他根需展开此行列式，将第一列乘以（-1）加到2、3、4列；再将变换后的第2列加到第4列得,所以方程f(x)=0有两个根：0与-1。,第五节 克莱姆法则,引入行列式概念时，求解三元线性方程组,行列式,时，方程组有唯一解:,其中,当系数,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,即,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,得,一、Cramer法则：,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方
11、 程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。,即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,则线性方程组(1.9)有唯一解：,证明：,再把 方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组(1.9)有唯一的一个解,上式中除了,的系数不等于D,其余,的系数均等于0，而等式右端为,由于方程组(1.10)与方程组(1.9)等价,所以,也是方程组的(1.9)解。,例1： 用Cramer法则解线性方程组。,解：,所以,当方程组(1.9)中的常数项都等于时，称为齐次线性方程组即,显然，齐次线性方程组(2)总是有解的，因为x1=0， x2=0， xn
12、=0必定满足(1.13)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解,在解x1=k1， x2=k2， xn=kn不全为零时，称这组解为方程组(1.13)的非零解,定理1 如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式D，则它只有零解,定理的逆否命题如下：,证：由于D，故方程组(1.13)有唯一解， 又因为(1.13)已有零解，所以(1.13)只有零解,推论,如果齐次线性方程组(1.13)有非零解，,那么它的系数行列式D,在下一章，将证明：如果齐次线性方程组 (1.1.3)的系数行列式D=0,则它有非零解.,也就是说，齐次线性方程组(1.13)有非零解的 充分必要条件是,其系数行列式D=0.,例2.判定齐次线性方程组 是否仅有零解。,解：因为 所以方程组仅有零解,例3.如果下列齐次线性方程组有非零解，K应取何值？,解：,如果方程组有非零解，,则D=0,即k=1,解 若方程组有非零解,则其系数行列式为零,即,故当,时，方程组有非零解.,
