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1、课时跟踪训练课时跟踪训练(四十二四十二) 基础巩固 一、选择题 1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A异面 B相交 C平行 D异面或相交 解析 当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面 直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，选 D. 答案 D 2.如图，l，A，B，C，且 Cl，直线 ABlM， 过 A，B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 解析 AB，MAB，M. 又 C，M、C， 与 的交线必通过点 C 和点 M.选 D. 答案 D 3已知正方体 ABCDA1B1C1D1中
2、，O 是 BD1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是( ) AA1、M、O 三点共线 BM、O、A1、A 四点共面 CA、O、C、M 四点共面 DB、B1、O、M 四点共面 解析 因为 O 是 BD1的中点由正方体的性质知，O 也是 A1C 的中点，所以点 O 在直线 A1C 上，又直线 A1C 交平面 AB1D1于 点 M，则 A1、M、O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面， 所以 B、C 正确 答案 D 4以下四个命题中，正确命题的个数是( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，
3、D，E 共面； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首 尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3 解析 对于，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故 正确；对于，若 A，B，C 共线时，A，B，C，D，E 不一定共 面 ，故不正确；对于，b，c 也可异面，故不正确；是错 误的选 B. 答案 B 5在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A. B. 1 5 2 5 C. D. 3 5 4 5 解析 如图，连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异 面直线 A1B 与 AD1所成的角
4、或其补角连接 A1C1，设 AB1，则 AA12，A1C1，A1BBC1，故 cosA1BC1 25 . 552 2 5 5 4 5 答案 D 6两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( ) A两条相交直线 B两条平行直线 C两个点 D一条直线和直线外一点 解析 如图，在正方体 ABCDEFGH 中，M，N 分别为 BF，DH 的中点，连接 MN，DE，CF，EG.当异面直线为 EG，MN 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面 直线为 DE，GF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE，BF 所在直线时，
5、 它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点 B，是一条直线和一个 点，故选 C. 答案 C 二、填空题 7(2017陕西汉中调研)若直线 ab，且直线 a平面 ，则直 线 b 与平面 的位置关系是_ 答案 b 与 相交或 b 或 b 8(2018江西上饶月考)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为_(把你认为正确的结论序号都填上) 解析 由题图可知 AM
6、 与 CC1是异面直线，AM 与 BN 是异面 直线，BN 与 MB1为异面直线因为 D1CMN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 答案 9(2017广东华山模拟)如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 AC 的中点，AA1AB1，则异面直线 AB1与 BD 所成的 2 角为_ 解析 取 A1C1的中点 E，连接 B1E，ED，AE，在 RtAB1E 中，AB1E 即为所求 设 AB1，则 A1A，AB1，B1E，AE ，故 23 3 2 3 2 AB1E60. 答案 60 三、解答题 10如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D
7、1中，M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解 (1)不是异面直线理由如下： 连接 MN、A1C1、AC. M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点， MNA1C1.A1A 綊 C1C， A1ACC1为平行四边形， A1C1AC，MNAC， A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线理由如下： 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 . D1、B、C、C1，与 ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成
8、立，即 D1B 与 CC1是异面直线 能力提升 11如图，平面 与平面 交于直线 l，A，C 是平面 内不同 的两点，B，D 是平面 内不同的两点，且 A，B，C，D 不在直线 l 上，M，N 分别是线段 AB，CD 的中点，下列判断正确的是( ) A若 AB 与 CD 相交，且直线 AC 平行于 l 时，则直线 BD 与 l 可能平行也有可能相交 B若 AB，CD 是异面直线时，则直线 MN 可能与 l 平行 C若存在异于 AB，CD 的直线同时与直线 AC，MN，BD 都相 交，则 AB，CD 不可能是异面直线 DM，N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交 解析 对于 A，
9、直线 BD 与 l 只能平行；对于 B，直线 MN 与 l 异面；对于 C，AB 与 CD 可能为异面直线当直线 AB 与 CD 的中 点 M，N 重合时，必有直线 ACl，故不可能相交，综上所述，故 选 D. 答案 D 12(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 3 2 2 2 3 3 1 3 解析 解法一：平面 CB1D1，平面 ABCD平面 A1B1C1D1，平面 ABCDm，平面 CB1D1平面 A1B1C1D1B1D1，mB1D1. 平面
10、 CB1D1，平面 ABB1A1平面 DCC1D1，平面 ABB1A1n，平面 CB1D1平面 DCC1D1CD1， nCD1.B1D1，CD1所成的角等于 m，n 所成的角， 即B1D1C 等于 m，n 所成的角 B1D1C 为正三角形，B1D1C60， m，n 所成的角的正弦值为. 3 2 解法二：由题意画出图形如图，将正方体 ABCDA1B1C1D1平 移， 补形为两个全等的正方体如图，易证平面 AEF平面 CB1D1， 所以平面 AEF 即为平面 ， m 即为 AE，n 即为 AF，所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所 成的角 因为AEF 是正三角形，所以EAF60， 故
11、 m，n 所成角的正弦值为. 3 2 答案 A 13如图所示，在四面体 ABCD 中，E，F 分别为 AB，CD 的 中点，过 EF 任作一个平面 分别与直线 BC，AD 相交于点 G，H， 则下列结论正确的是_ 对于任意的平面 ，都有直线 GF，EH，BD 相交于同一点； 存在一个平面 0，使得 GFEHBD；存在一个平面 0，使得 点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上 解析 当 H，G 分别为 AD，BC 的中点时，直线 GF，EH，BD 平行，所以错，正确；若存在一个平面 0，使得 点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上，则平面 0与 CD 的交
12、点不可能是 CD 的中点，故错 答案 14(2017安徽安庆调研)如图所示，正方形 ACDE 与等腰直角 三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 ACBC2，ACB90， F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值 为_ 解析 取 DE 的中点 H，连接 HF，GH.由题设，HF 綊 AD. 1 2 GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角)在 GHF 中，可求 HF，GFGH，cosGFH 26 . 22 62 62 2 2 6 3 6 答案 3 6 15(2017河南许昌模拟)如图所示，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC，D 是 PC
13、 的中点已知BAC ，AB2，AC2 2 ，PA2.求： 3 (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解 (1)SABC 222， 1 233 三棱锥 PABC 的体积为 V SABCPA 22. 1 3 1 33 4 3 3 (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角) 在ADE 中，DE2，AE，AD2， 2 cosADE . 22222 2 2 2 3 4 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 3 4 16如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD
14、 是边长为 2 的 正方形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点 (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小 解 (1)由已知可求得，正方形 ABCD 的面积 S4， 所以，四棱锥 OABCD 的体积 V 42 . 1 3 8 3 (2)连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE， 则EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角)， 由已知，可得 DE，EM，MD， 235 ()2()2()2，DEM 为直角三角形， 235 tanEMD. DE EM 2 3 6 3 延伸拓展 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析 正方体的四条(体)对角线与棱 AB，AD，AA1所成的 角都相等，如图 1，其中只有一条过 A，只需把另外三条进行适当平 移使之分别过点 A(参考图 2)即可， 过 A 可以作出适合题意要求的四条直线 l. 答案 D
