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1、2.4 平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义,问题提出,1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0，90，180时，这两个向量的位置关系如何？,2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.,平面向量数量积的 物理背景及其含义,探究（一）:平面向量数量积的背景与含义,WFscos,思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数
2、量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？,思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，把a|bcos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即 ab=a|bcos.那么ab的运算结果是向量还是数量？,思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？,0a=0,思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？,当090时，ab0； 当90180时，ab0； 当90时，ab0.,ab=a|bcos,思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，那么acos的几何意义如何？,思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，acos叫做向量a在b方向上的投影.那么该
3、投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？,不一定；bcos.,思考8：根据投影的概念，数量积 ab=a|bcos的几何意义如何？,数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积，,探究（二）：平面向量数量积的运算性质,思考1：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？,ab ab0,思考2：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？,当a与b同向时，abab； 当a与b反向时，abab； aaa2a2或a .,思考3：ab与ab的大小关系如何？为什么？,abab,思考4：ab
4、与ba是什么关系？为什么？,abba,思考5：对于实数，(a)b有意义吗？它可以转化为哪些运算？,(a)b(ab)a(b),思考6：对于向量a，b，c，(ab)c有意义吗？它与acbc相等吗？为什么？,思考7：对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？,(ab)ca(bc),思考8：对于非零向量a，b，c，若abac，那么 bc吗？,思考9：对于向量a，b，等式(ab)2 a22abb2和(ab)(ab)a2b2是否成立？为什么？,思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角？,理论迁移,例1 已知a5，b4，a与b的夹角为120，求ab.,10,例2 已
5、知a6，b4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b).,72,例3 已知a3，b4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量akb与 akb互相垂直？,小结作业,1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.,2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.,3. 利用a 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.,4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.,作业： P108 习题2.4A组： 1，2，3，6，7，8.,
