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1、几何外形设计的基础,2019/6/21,几何外形曲线曲面的参数表示,参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 参数多项式曲面 Bezier曲面,2019/6/21,参数曲线基础（1/12）,曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示,2019/6/21,参数曲线基础（2/12）,参数表示 参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间0，1 矢量表示形式 例子：直线段的参数表示,2019/6/21,参数曲线基础（3/12）,参数表示与隐式表示的相互转换 例子,2019/6/21,参数曲线基础（4/12）,正则点 导数不为零的点 正则曲线 所有的点都是正则
2、点的曲线 斜率 直线的倾斜程度 一个坐标变量关于另一个坐标变量变化率,2019/6/21,参数曲线基础（5/12）,切矢量 坐标变量关于参数的变化率 弧长,2019/6/21,参数曲线基础（6/12）,弧长参数,2019/6/21,参数曲线基础（7/12）,单位切矢量,2019/6/21,参数曲线基础（8/12）,主法矢量 主法矢量与切矢量垂直: 副法矢量 Frenet标架,2019/6/21,参数曲线基础（9/12）,曲率 曲线的弯曲程度 曲率半径 关于任意参数切矢量、法矢量和曲率的计算,2019/6/21,参数曲线基础（10/12）,参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P=P(t)在
3、处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号,2019/6/21,参数曲线基础（11/12）,几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即 记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处 ,并且切矢量方向连续 记为,2019/6/21,参数曲线基础（12/12）,2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处 （1） （2）副法矢量方向连续 （3）曲率连续 例子 几何连续与参数连续的关系,2019/6/21,参数表示的好处,参数形式有更大的自由度来控制曲线、曲面的
4、形状。 对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转），从而节省计算工作量。,2019/6/21,便于处理斜率为无限大的问题，不会因此而中断计算。 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式去处理几何分量，如调配函数就具有此特点。 规格化的参数变量，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。参数表示易于产生曲线上的有序点列和曲面上的有序网格点，而
5、隐式表示则无此特点。,2019/6/21,易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。 用参数形式设计或表示形状更直观，许多参数表示的基底如Bernstein基函数和B样条函数，具有明显的几何意义，由此得到的算法更直观稳定。,2019/6/21,隐式表示的好处,用隐式表示更容易表示曲面的等值线。 在曲线或曲面的求交中，通过隐式方程容易判断某点是否落在曲线或曲面上，而参数表示则无此优点。 参数形式有时需要处理与几何形状无关的参数异常点，例如单位球面的极点，但事实上，极点与球面上其它点并无区别。 曲面上参数表示并不能描述曲面间的相互位置，找到它们之间的整体关系很困难，而隐式表示则较为方便,2019/
6、6/21,参数多项式曲线（1/5）,为什么采用参数多项式曲线 表示最简单 理论和应用最成熟 定义-n次多项式曲线,2019/6/21,参数多项式曲线（2/5）,矢量表示形式 加权和形式 缺点 没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难,2019/6/21,参数多项式曲线（3/5）,矩阵表示 矩阵分解 几何矩阵 控制顶点 基矩阵M 确定了一组基函数,2019/6/21,参数多项式曲线（4/5）,例子直线段的矩阵表示,P0,P1,P0+P1,2019/6/21,三次Hermite曲线(1/7),定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线:,P0
7、,P1,R0,R1,2019/6/21,三次Hermite曲线(2/7),矩阵表示 条件,2019/6/21,三次Hermite曲线(3/7),合并 解（不唯一）,2019/6/21,三次Hermite曲线(4/7),基矩阵与基函数（调配函数）,2019/6/21,三次Hermite曲线(5/7),形状控制 改变端点位置矢量 调节切矢量 的方向,2019/6/21,三次Hermite曲线(6/7),调节切矢量 的长度 控制顶点 几何变换 对曲线变换等价于对控制顶点变换,2019/6/21,三次Hermite曲线(7/7),三次参数样条曲线 样条? 曲线的定义 给定参数节点 ，型值点 ，求一条
8、的分段三次参数曲线 ，使 。P(t)称为三次参数样条曲线 表达式求法？,例子：Photoshop,2019/6/21,Bezier曲线（1/24）,Bezier基函数的定义 如下n次多项式称为n次Bezier基函数,2019/6/21,Bezier曲线（2/24）,Bezier基函数的性质 正性 权性,2019/6/21,Bezier曲线（3/24）,对称性 降阶公式,2019/6/21,Bezier曲线（4/24）,升阶公式 导数,2019/6/21,Bezier曲线（5/24）,积分 最大值 在t=i/n处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基,2019/6/21,Bezier曲
9、线（6/24）,Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P（t）称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形,2019/6/21,Bezier曲线（7/24）,Bezier曲线的性质 端点位置,2019/6/21,Bezier曲线（8/24）,端点切矢量 导数曲线,2019/6/21,Bezier曲线（9/24）,端点曲率 曲率公式,2019/6/21,Bezier曲线（10/24）,仿射不变性 表达式 几何属性：形状，曲率等等,2019/6/21,Bezier曲线（11/24）,凸包性 凸集 凹集 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内,2019/6/21
10、,Bezier曲线（12/24）,直线再生性 平面曲线的保凸性 平面曲线的变差缩减性,2019/6/21,Bezier曲线（13/24）,拟局部性 形状的易控性,2019/6/21,Bezier曲线（14/24）,三次Bezier曲线的矩阵表示,2019/6/21,Bezier曲线（15/24）,de Casteljau算法 问题 给定参数 ，计算,t,P(t),2019/6/21,Bezier曲线（16/24）,算法 计算过程,2019/6/21,Bezier曲线（17/24）,几何解释,2019/6/21,Bezier曲线（18/24）,分割定理 问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两
11、段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达式如何？,P=Q+R,2019/6/21,Bezier曲线（19/24）,几何解释,2019/6/21,Bezier曲线（20/24）,离散生成算法 想法,2019/6/21,Bezier曲线（21/24）,程序 void DisplayBezierCurve(Vector P,int n, float DELTA) if(Distance(P,n) = DELTA) 显示控制多边形P； else BezierCurveSplitting(P,Q,R,n); DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）； DisplayBezierCur
12、ve(R,n,DELTA）； ,2019/6/21,Bezier曲线（22/24）,计算距离,2019/6/21,Bezier曲线（23/24）,曲线的拼接,2019/6/21,Bezier曲线（24/24）,条件 条件 条件？,2019/6/21,作业,实现Bezier曲线的绘制方法，必须用de Casteljau几何作图法画线。,2019/6/21,参数多项式曲面(1/7),曲面的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示,2019/6/21,参数多项式曲面(2/7),参数表示,2019/6/21,参数多项式曲面(3/7),等参数曲线 一个参数固定，一个参数自由变化 U曲线 V曲线 切矢量
13、切平面 法矢量,2019/6/21,参数多项式曲面(4/7),参数多项式曲面的定义 系数矩阵,2019/6/21,参数多项式曲面(5/7),矩阵表示,2019/6/21,参数多项式曲面(6/7),2019/6/21,参数多项式曲面(7/7),参数多项式曲面的生成,2019/6/21,Bezier曲面,Bezier曲面的定义 控制定点 控制网格,2019/6/21,Bezier曲面,Bezier曲面的性质 边界线,2019/6/21,Bezier曲面,角点位置,2019/6/21,Bezier曲面,角点切平面 角点法矢量,2019/6/21,Bezier曲面,凸包性 Bezier曲面包含在其控制顶点的凸包之内 平面再生性 仿射不变性 拟局部性,2019/6/21,Bezier曲面,离散生成算法 De Casteljau算法 给定 ， 计算型值点,2019/6/21,Bezier曲面,2019/6/21,Bezier曲面,计算过程,2019/6/21,Bezier曲面,2019/6/21,Bezier曲面,分割定理,2019/6/21,Bezier曲面,2019/6/21,Bezier曲面,
