《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第4节 数列求和及综合应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第4节 数列求和及综合应用 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组求和法1,2,3,11,13裂项相消法求和5,8,15错位相减法求和12,14数列的综合应用4,6,7,9,10基础巩固(时间:30分钟)1.已知数列an的通项公式是an=2n-3()n,则其前20项和为(C)(A)380- (1-)(B)400- (1-)(C)420- (1-)(D)440- (1-)解析:设数列an的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+a20=2(1+2+20)-3(+)=2-3=420- (1-).故选C.2.数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和S100等于
2、(B)(A)200(B)-200(C)400(D)-400解析:S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-(4100-3)=4(1-2)+(3-4)+(99-100)+-3-(-3)-3+-(-3)=4(-50)=-200.故选B.3.(2017全国卷)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为(A)(A)-24(B)-3 (C)3 (D)8解析:由a2,a3,a6成等比数列且a1=1得(1+2d)2=(1+d)(1+5d).因为d0,所以d=-2,所以S6=61+(-2)=-24.故选A.4.(2017安阳一模)已知数列an的前n项和Sn=
3、2n-1,则数列log2 an的前10项和等于(C)(A)1 023 (B)55 (C)45(D)35解析:数列an的前n项和Sn=2n-1,可得a1=S1=2-1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,对n=1也成立.所以an=2n-1(nN*)log2an=log22n-1=n-1,则数列log2an的前10项和等于0+1+2+9=(1+9)9=45.故选C.5.(2017湖南模拟)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=n2(nN*),记数列的前n项和为Tn,则T2 017等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=
4、Sn-Sn-1=n2- (n-1)2=2n-1,当n=1时适合上式,所以an=2n-1.(nN*).所以= (-),数列的前n项和为Tn= (1-+-+-)= (1-).则T2 017= (1-)=.故选B.6.(2016湖北三校联考)已知等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4=1,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,2n-1lg an,的前n项和Sn等于(C)(A)n2n (B)(n-1)2n-1-1(C)(n-1)2n+1(D)2n+1解析:因为等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,所以=102n,即an=10n,所以2n-1l
5、g an=2n-1lg 10n=n2n-1,所以Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=12+222+323+n2n,所以-得-Sn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,所以Sn=(n-1)2n+1.选C.7.(2017郴州二模)已知等比数列an的前n项和Sn=2n-a,则+等于(D)(A)(2n-1)2(B) (2n-1)(C)4n-1 (D) (4n-1)解析:因为Sn=2n-a,所以a1=2-a,a1+a2=4-a,a1+a2+a3=8-a,解得a1=2-a,a2=2,a3=4,因为数列an是等比数列,所以22=4(2-a),解得a=1.所以公比q=
6、2,an=2n-1,=22n-2=4n-1.则+= (4n-1).故选D.8.(2016广东汕尾调研)已知数列an为等比数列,a1=3,a4=81,若数列bn满足bn=(n+1)log3an,则的前n项和Sn=.解析:由题知an=3n,所以bn=n(n+1),= -,所以Sn=(1-)+(-)+(-)=1-=.答案:9.(2017合肥二模)等比数列an满足an0,且a2a8=4,则log2 a1+log2 a2+log2 a3+log2 a9=.解析:根据题意,等比数列an的各项都是正数,a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=4,则a5=2,则log2 a1+log2 a2+log2 a9=
7、log2(a1a2a9)=log2(29)=9,答案:9能力提升(时间:15分钟)10.已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+|a6|等于(C)(A)9(B)15(C)18(D)30解析:因为an+1-an=2,a1=-5,所以数列an是公差为2的等差数列.所以an=-5+2(n-1)=2n-7.数列an的前n项和Sn=n2-6n.令an=2n-70,解得n.所以n3时,|an|=-an.n4时,|an|=an.则|a1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-66-2(32-63)=18.故选C.11.(2017安徽宿州
8、一模)设数列an的前n项和为Sn,已知a2=2,an+2+(-1)n-1an=1,则S40等于(C)(A)260(B)250(C)240(D)230解析:由an+2+(-1)n-1an=1,当n为奇数时,有an+2+an=1,当n为偶数时,an+2-an=1,所以数列an的偶数项构成以2为首项,以1为公差的等差数列,则S40=(a1+a3+a5+a7+a39)+(a2+a4+a40)=101+202+1=240.故选C.12.(2017淮北二模)已知数列bn是等比数列,bn=,a1=1, a3=3,cn=(an+1)bn,那么数列cn的前n项和Sn=.解析:设等比数列bn的公比为q,由题意得=
9、q,即an+1-an=log2 q.所以an为等差数列,又d=1,a1=1.所以an=1+n-1=n,bn=2n-1.所以cn=(an+1)bn=(n+1)2n-1.所以数列cn的前n项和Sn=21+32+422+(n+1)2n-1.2Sn=22+322+n2n-1+(n+1)2n,-得-Sn=2+2+22+23+2n-1-(n+1)2n=1+-(n+1)2n=-n2n,所以Sn=n2n.答案:n2n13.已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,则a2=a
10、1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时
11、,满足此式.综上,Sn=14.(2017衡水一模)已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=Sn+2n+1(nN*).(1)证明数列为等差数列;(2)求S1+S2+Sn.(1)证明:由Sn+1-Sn=an+1得Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即Sn+1-2Sn=2n+1,整理得-=1,因为n=1时,=1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即Sn=n2n,令Tn=S1+S2+Sn,Tn=12+222+n2n,2Tn=122+(n-1)2n+n2n+1,-,得-Tn=2+22+2n-n2n+1,整理得Tn=2+(n-1)2n+1.15
12、.(2017江西鹰潭二模)已知数列an与bn,若a1=3且对任意正整数n满足an+1-an=2,数列bn的前n项和Sn=n2+an.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)由题意知数列an是公差为2的等差数列,又因为a1=3,所以an=3+2(n-1)=2n+1.数列bn的前n项和Sn=n2+an=n2+2n+1=(n+1)2,当n=1时,b1=S1=4;当n2时,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-(n-1)2+2(n-1)+1=2n+1.上式对b1=4不成立.所以数列bn的通项公式为bn=(2)n=1时,T1=,n2时,= (-),所以Tn=+ (-+-+-)=+=.n=1仍然适合上式.综上,Tn=.
