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1、四四 柱坐标系与球坐标系简介柱坐标系与球坐标系简介 课时作业 A 组 基础巩固 1点A的柱坐标是，则它的直角坐标是( ) (2， 6 ，7) A(，1,7) B(，1，7) 33 C(2，1,7) D(2，1，7) 33 解析：2，z7，xcos ，ysin 1，z7，点 63 A的直角坐标是(，1,7) 3 答案：A 2若点M的直角坐标为(2,2,2)，则它的球坐标为( ) 2 A. B. (2， 5 4 ， 4) (4， 4 ， 4) C. D. (4， 4 ，3 4 )(4， 3 4 ，3 4 ) 解析：由坐标变换公式得，r4，由rcos z2得 cos x2y2z22 ，所以，又 ta
2、n 1，点M在第卦限，所以，所以M的球坐 2 2 4 y x 4 标为. (4， 4 ， 4) 答案：B 3若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( ) (2， 6 ， 3) A1 B2 C. D. 36 解析：由于点P的柱坐标为(，z)，故点P在平面xOy内的射影 (2， 6 ， 3) Q到直线Oy的距离为cos，可得P到直线Oy的距离为. 636 答案：D 4在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( ) A. B. ( 2，3 4 ，1) ( 2， 4 ，1) C. D. ( 2，5 4 ，1) ( 2，7 4 ，1) 解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(1，1,1)
3、，它的柱坐标为. ( 2，5 4 ，1) 答案：C 5已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|( ) (4， 2 ，5 3 )(2， 6 ，1) A. B. 2129 C. D4 302 解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)， 则Error!得Error! 故P1(2，2，0)， 3 设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)， 故Error!得Error! 故P2(，1,1) 3 则|P1P2|. 2 322 31201221 答案：A 6已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|_. (2， 3 ， 5) 解析：(，z)， (2， 3 ， 5) 设M的直角坐标为
4、(x，y，z)， 则x2y2222， |OM| 3. x2y2z222 52 答案：3 7已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则 tan_，tan _. 解析： 如图所示， tan ， x2y2 z 5 3 tan 2. y x 答案： 2 5 3 8已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为 (2， 2 3 ， 5) N，则|OM|_，|MN|_. 解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射 影 因为MN直线Oy，MP平面xOy， 所以PN直线Oy. 所以|OP|2，|PN|1， |cos 2 3 | 所以|OM|3
5、. 2z222 52 在 RtMNP中，MPN90， 所以|MN|. |PM|2|PN|2 52126 答案：3 6 9已知点P的球坐标为，求它的直角坐标 (4， 3 4 ， 4) 解析：由变换公式得： xrsin cos 4sincos2. 3 4 4 yrsin sin 4sinsin2. 3 4 4 zrcos 4cos 2. 3 42 它的直角坐标为(2,2，2) 2 10已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标 ( 2， 4 ，1) 解析：M(， ，1)的直角坐标为 2 4 Error! M关于原点O的对称点的直角坐标为(1，1，1) (1，1，1)的柱坐标为： 2(1)2
6、(1)22，. 2 tan 1，又x0，y0. 1 1 5 4 其柱坐标为( 2，5 4 ，1) M关于原点O对称点的柱坐标为. ( 2，5 4 ，1) B 组 能力提升 1球坐标系中，满足，r0，)，0，的动点P(r，)的轨 4 迹为( ) A点 B直线 C半平面 D半球面 解析：由于在球坐标系中，r0，)，0， 4 故射线OQ平分xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，)的轨 迹为二面角xOPy的平分面，这是半平面，如图 答案：C 2已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空 ( 2， 4 ，5) ( 6， 3 ， 6) 间直角坐标系中的点的坐标分别为( ) AP(5,1,1)，B(
7、 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) BP(1,1,5)，B( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) CP，B(1,1,5) ( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) DP(1, 1,5)，B( 6 2 ，3 6 4 ，3 2 4 ) 解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则 xcos1， 2 42 2 2 ysin1，z5. 2 4 设点B的直角坐标为(x，y，z)，则 xsincos， 6 3 66 3 2 3 2 3 6 4 ysinsin ， 6 3 66 3 2 1 2 3 2 4 zcos . 6 36 1 2 6 2 所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为
8、. ( 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2) 答案：B 3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1 ，则此长方体外接球的体积为_ (6， 2 ，5) 解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为 6、4、5，设外接球的半径为R，则有 (2R)216253677， 所以R，V球 R3. 77 2 4 3 77 77 6 答案： 77 77 6 4已知球坐标系中，M，N，则|MN|_. (4， 6 ， 3) (4， 3 ， 6) 解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)， 由Error!得Error! M的直角坐标为(1， ，2)， 33 同理N的直角坐标为(
9、3， ，2)， 3 |MN| 132 3 322 322 2. 52 3 答案：2 52 3 5.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系 Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标 解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)， 设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中 0，r0,0，02， 由公式Error!及Error! 得Error!及Error! 得Error!及Error! 结合题图得，由 cos 得 tan . 4 3 32 点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(， ，1)，球坐标为，其中 2 4 ( 3， 4) tan ，
10、0. 2 6以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的 方向为z轴正方向，本初子午线(0经线)所在平面为坐标平面xOz，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图，已知地球半径为R，点A的球坐标为，点B的球坐标为 (R， 4 ， 3) ，求： (R， 4 ，5 6 ) (1)A，B两地之间的距离； (2)A，B两地之间的球面距离 解析：(1)由于球坐标(r，)的直角坐标为(x，y，z)(rsin cos ，rsin sin ，rcos )， 所以A，B点的直角坐标分别为 ， ( 2 4 R， 6 4 R， 2 2 R) ( 6 4 R， 2 4 R， 2 2 R) 所以A，B两地之间的距离为|AB| R. ( 2 6 4 R)2( 6 2 4 R)2( 2 2 R 2 2 R)2 (2)由上述可知，在OAB中，|OA|OB|AB|R，得AOB， 3 所以A，B两地之间的球面距离为R. AB 3
