《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第6节 曲线与方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第6节 曲线与方程 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 6 节 曲线与方程 【选题明细表】 知识点、方法题号 曲线与方程、直接法求轨迹方程 1,10 定义法、待定系数法求轨迹方程 4,6,8,11,13,15 相关点法(代入法)求轨迹方程 3,7,9,12,14 向量法、参数法求轨迹方程 2,5 基础巩固(时间:30 分钟) 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的曲线是( C ) (A)一条直线和一条双曲线 (B)两条双曲线 (C)两个点 (D)以上答案都不对 解析:由(x-y)2+(xy-1)2=0 解得或故选 C. 2.已知点 O(0,0),A(1,2),动点 P 满足|+|=2,则 P 点的轨迹方程 是( A ) (A)4x2+
2、4y2-4x-8y+1=0 (B)4x2+4y2-4x-8y-1=0 (C)8x2+8y2+2x+4y-5=0 (D)8x2+8y2-2x+4y-5=0 解析:设 P 点的坐标为(x,y), 则=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+ (2y-2)2=4, 整理得 4x2+4y2-4x-8y+1=0.故选 A. 3.(2017普陀区二模)动点 P 在抛物线 y=2x2+1 上移动,若 P 与点 Q(0,-1)连线的中点为 M,则动点 M 的轨迹方程为( B ) (A)y=2x2(B)y=4x2 (C)y=6x2(D)y=8x2 解析:设 PQ 中点
3、M 为(x,y),则 P(2x,2y+1)在抛物线 y=2x2+1 上,即 (2y+1)=2(2x)2+1,所以 y=4x2.故选 B. 4. 设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上 任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方 程为( D ) (A)-=1 (B)+=1 (C)-=1 (D)+=1 解析:因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA| =|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹是以定点 C,A 为焦点的椭圆. 所以 a=,c=1,则 b2=a2-c2=, 所
4、以椭圆的方程为+=1.故选 D. 5.设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点.若=2, 且=1,则点 P 的轨迹方程是( A ) (A) x2+3y2=1(x0,y0) (B) x2-3y2=1(x0,y0) (C)3x2-y2=1(x0,y0) (D)3x2+y2=1(x0,y0) 解析:设 A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2, 得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以 即 a=x0,b=3y0.点 Q(-x,y), 故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1, 即 ax+by=1
5、.将 a,b 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1 (x0,y0).故选 A. 6.(2017安徽黄山市二模)在ABC 中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给 出ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的轨迹方程. 下表给出了一些条件及方程: 条件方程 ABC 周长为 10 C1:y2=25 ABC 面积为 10 C2:x2+y2=4(y0) ABC 中,A=90 C3:+=1(y0) 则满足条件,的轨迹方程依次为( A ) (A)C3,C1,C2(B)C1,C2,C3 (C)C3,C2,C1(D)C1,C3,C2 解析:ABC 的周长为 10,即 AB+AC+
6、BC=10, 又 BC=4,所以 AB+AC=6BC,此时动点 A 的轨迹为椭圆,与 C3对应; ABC 的面积为 10, 所以 BC|y|=10, 即|y|=5,与 C1对应; 因为A=90, 所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与 C2对应. 故选 A. 7.直线+=1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是 . 解析:直线+=1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2-a),设 AB 的中 点为 M(x,y),则 x=,y=1-,消去 a,得 x+y=1.因为 a0 且 a2,所以 x0 且 x1. 答案:x+y=1(x0 且 x1) 8.已知圆的方程为
7、 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0)且以圆的 切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是 . 解析:设抛物线焦点为 F,过 A,B,O 作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则 |AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以 |FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去 掉长轴两端点). 答案:+=1(y0) 能力提升(时间:15 分钟) 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射 f 将 xOy 平面上的点 P(x,y)对应到另
8、一个平面直角坐标系 uOv 上 的点 P(2xy,x2-y2),则当点 P 沿着折线 ABC 运动时,在映射 f 的作用下,动点 P的轨迹是( D ) 解析:当 P 沿 AB 运动时,x=1. 设 P(x,y),则(0y1), 所以 y=1-(0x2,0y1). 当 P 沿 BC 运动时,y=1,则(0x1), 所以 y=-1(0x2,-1y0), 由此可知 P的轨迹如 D 所示.故选 D. 10.(2017湖南衡阳市联考)设点 P(x,y)是曲线 a|x|+b|y|=1 (a0,b0)上的动点,且满足+2,则 a+ b 的取值范围为( A ) (A)2,+)(B)1,2 (C)1,+)(D)
9、(0,2 解析:设 F1(0,-1),F2(0,1), 则满足+=2的点 P 的轨迹是以 F1(0,-1), F2(0,1)为焦点的椭圆,其方程为+=1.曲线 a|x|+b|y|=1(a0,b0)为 如图所示的菱形 ABCD,C(,0),D(0,). 由于+2, 所以菱形 ABCD 在椭圆上或其内部, 所以1, 即 a1,b. 所以 a+b1+=2.故选 A. 11.(2017江苏盐城模拟)ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),ABC 的 内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 . 解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以
10、|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的 右支,故方程为-=1(x3). 答案:-= 1(x3) 12.已知点 A,B 分别是射线 l1:y=x(x0),l2:y=-x(x0)上的动点,O 为坐标原点,且OAB 的面积为定值 2,则线段 AB 中点 M 的轨迹方程 为 . 解析:由题意可设 A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y), 其中 x10,x20, 则 因为OAB 的面积为定值 2, 所以 SOAB=OAOB= (x1)(x2)=x1x2=2. 2-2得 x2-y2=x1x2,而 x1x2=2,所以 x2-y2=
11、2. 由于 x10,x20,所以 x0, 即所求点 M 的轨迹方程为 x2-y2=2(x0). 答案:x2-y2=2(x0) 13.(2017广元市一模)已知定圆 M:(x-3)2+y2=16 和圆 M 所在平面内 一定点 A,点 P 是圆 M 上一动点,线段 PA 的垂直平分线 l 交直线 PM 于点 Q. (1)讨论 Q 点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种:椭圆;双曲线; 抛物线;圆;直线;一个点. (2)若定点 A(5,0),试求QMA 的面积的最大值. 解:(1)由题意知|QP|=|QA|, 当 A 在圆 M 外时,|MA|4,且|QA|-|QM|=|PM|=4|MA|, 所以 Q 点
12、的轨迹是以 M,A 为焦点的椭圆,见图(2). 当 A 在圆 M 上时,l 过定点 M,l 与 PM 的交点 Q 就是点 M,所以点 Q 的轨迹就是一个点,见图(3). 当 A 与 M 重合时,l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点,所以点 Q 的轨 迹就是圆,见图(4). 综上所述,Q 点的轨迹可能是四种. (2)因为 A(5,0)在圆 M 内, 由(1)知,点 Q 的轨迹是以 M,A 为焦点的椭圆, 且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a, 所以 b=, 由椭圆的几何性质可知,Q 为短轴端点时,最大, 所以 SMQA的最大值为2cb=. 14.(2017合肥市二模)如图,抛物线 E
13、:y2=2px(p0)与圆 O:x2+y2=8 相交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上的动点 P(x0,y0) 作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C,D 两点,分别以 C,D 为切点作抛物线 E 的切线 l1,l2,l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值; (2)求动点 M 的轨迹方程. 解:(1)由点 A 的横坐标为 2,可得点 A 的坐标为(2,2), 代入 y2=2px,解得 p=1. (2)设 C(,y1),D(,y2),y10,y20. 切线 l1:y-y1=k(x-), 代入 y2=2x 得 ky2-2y+2y1-k =0, 由 =0 解得 k=,
14、 所以 l1方程为 y=x+,同理 l2方程为 y=x+. 联立解得 因为 CD 方程为 x0x+y0y=8,其中 x0,y0满足 + =8,x02,2, 联立方程得 x0y2+2y0y-16=0,则 代入可知 M(x,y)满足 所以 代入 + =8 得-y2=1, 考虑到 x02,2,知 x-4,-2. 所以动点 M 的轨迹方程为-y2=1,x-4,-2. 15.(2018泉州市一模)ABC 中,O 是 BC 的中点,|BC|=3,其周长 为 6+3,若点 T 在线段 AO 上,且|AT|=2|TO|. (1)建立合适的平面直角坐标系,求点 T 的轨迹 E 的方程; (2)若 M,N 是射线
15、 OC 上不同的两点,|OM|ON|=1,过点 M 的直线与 E 交于 P,Q 两点,直线 QN 与 E 交于另一点 R,证明:MPR 是等腰三角 形. (1)解:以 BC 所在直线为 x 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则|AB|+|AC|=6|BC|, 所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆, 所以 2a=6,2c=3, 所以 a=3,c=, 所以 b2=a2-c2=, 所以点 A 的轨迹方程为+ =1(y0). 设 T(x,y),点 T 在线段 AO 上,且|AT|=2|TO|, 所以 A(3x,3y),代入轨迹方程, 整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2+2y2 =1(y0). (2)证明:根据题意,设 M(m,0),(m0),由|OM|ON|=1, 得 N( ,0), Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3). 由题意,直线 QM 不与坐标轴平行,kQM=, 直线 QM 的方程为 y=(x-m), 与椭圆方程联立,消去 y, 得(m2+1-2mx1)x2-2m(1- )x+(2mx1- -m2)=0, 所以 x1x2=, 同理 x1x3=x1x2, 所以 x2=x3,或 x1=0. x2=x3,PRx 轴; x1=0,x2=,x3=x2. PRx 轴, 所以|MP|=|MR|, 所以MPR 是等腰三角形.
