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1、四四 渐开线与摆线渐开线与摆线 课时作业 A 组 基础巩固 1半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( ) A B2 C12 D14 解析：当t0 时，x0 且y0.即点(0,0)在曲线上 答案：C 2已知一个圆的摆线的参数方程是Error!(为参数)，则该摆线一个拱的高度是( ) A3 B6 C9 D12 解析：由圆的摆线的参数方程 Error!(为参数)知圆的半径r3，所以摆线一个拱的高度是 326. 答案：B 3圆Error!(为参数)的渐开线方程是( ) A.Error!(为参数) B.Error!(为参数) C.Error!(为参数) D.Error!(为参数
2、) 解析：由圆的参数方程知圆的半径为 10，故其渐开线方程为Error!(为参数) 答案：C 4有一个半径为 8 的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为 3，则点M的轨迹方程是( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为 3.故选 C. 答案：C 5当2 时，圆的渐开线Error!(为参数)上的点是( ) A(6,0) B(6,6) C(6，12) D(，12) 解析：当2 时， Error!故选 C. 答案：C 6半径为 5 的圆的摆线的参数方程为_ 解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为
3、Error!(为参数) 答案：Error!(为参数) 7已知圆的渐开线的参数方程是Error!(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是 _，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_ 4 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，故直径为 2. 求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y 4 4 2 2 2 8 ，由此可得对应的点的坐标为. 2 2 2 8 ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 答案：2 ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 8给出直径为 8 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程 解析：以圆的圆心为原点，一条半径所
4、在的直线为x轴，建立直角坐标系又圆的直 径为 8，所以半径为 4，从而圆的渐开线的参数方程是 Error!(为参数) 以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 所以摆线的参数方程为Error!(为参数) 9求摆线Error!(0t2)与直线y2 的交点的直角坐标 解析：当y2 时，有 2(1cos t)2，t或t. 2 3 2 当t时，x2； 2 当t时，x32. 3 2 摆线与直线y2 的交点为(2,2)，(32,2) B 组 能力提升 1t 时，圆的渐开线Error!上的点的坐标为( ) A(5,5) B(5，5) C(5,5) D(5，5) 解析：将t 代入参
5、数方程易得x5，y5.故选 A. 答案：A 2已知摆线的参数方程为Error!(为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( ) A2，2 B2，4 C4，2 D4，4 解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r2，又由摆线的产生过 程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为 2r4，摆线的拱高等于圆的直径为 4. 方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y0，即 1cos 0，解得2k(kZ)，不妨分别取k0,1，得10，22，代入参 数方程，得x10，x24，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为 4，即摆线一个拱 的宽度等于 4； 又因为摆线在每一拱的中点处达
6、到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时 ，所以摆线一个拱的高度为|y|2(1cos )4. 12 2 答案：D 3渐开线Error!(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍 得到的曲线的两焦点间的距离为_ 解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为 6，则其圆的方程为x2y236，把横坐标 伸长为原来的 2 倍，得到的椭圆方程y236，即1，对应的焦点坐标为 x2 4 x2 144 y2 36 (6，0)和(6，0)，它们之间的距离为 12. 333 答案：12 3 4已知圆的渐开线的参数方程是Error!(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是 _，当参数时
7、对应的曲线上的点的坐标为_ 4 解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 8，故直线为 16，求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得 4 4 x4，y4，由此可得对应的坐标为(4，4) 22222222 答案：16 (4，4) 2222 5已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数 方程 解析：令y0 得r(1cos )0，即得 cos 1，所以2k(kZ) 则xr(2ksin 2k)4，即得r(kZ) 2 k 又r0，易知，当k1 时，r取最大值为. 2 圆的渐开线的参数方程是：Error! (为参数) 6已知圆C的参数方程是Error!(为参数)和直线l对应的普通方程是 xy60. 2 (1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程 解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,0)，它到直线xy60 的距离为 2 d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的 6 2 2 (2)由于圆的半径是 6，所以可得平移后圆的渐开线方程是Error!(为参数)
