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1、2019/6/21,1,2019/6/21,2,重点,2019/6/21,3,31 水文统计的意义及基本概念,本节自学：,2019/6/21,4,4、数理统计法对水文资料的要求是什么,简 介,2019/6/21,5,32 概率与频率,一、概念,1、概率,0 P(A) 1,2019/6/21,6,事先概率,总体是有限的，其随机变量的机率可事先算出,事后概率,经验概率,总体是无限的，其随机变量的 机率无法事先算出,水文统计是事后机率，因为水文特征值是无限总体,2019/6/21,7,2、频率,在若干次重验复实验中，某事件出现的次数 与实验总次数之比。,频率是随机实验时的实测值,2019/6/21,
2、8,3、频率与概率的关系,2019/6/21,9,二、概率运算定理,1、概率相加定理：,p(A1+A2+An) = P(A1)+P(A2)+ +P(An),2、概率相乘定理：,p(A1* A2* An) = P(A1)*P(A2)* *P(An),2019/6/21,10,三、随机变量的概率分布,随机变量与其概率的一一对应关系，称随机变量的概率分布。,1、随机变量的概率分布,2、频率及有关概念,表示每组所在区间的变量值出现的可能程度,2019/6/21,11,（2）频率密度,频率在区间内的平均值,即：,（3）直方图,（4）频率密度曲线当x0 时，直方图近乎曲线， 此曲线即频率密度曲线。,201
3、9/6/21,12,x,频率密 度曲线,2019/6/21,13,（B）密度曲线形状,见图3.2,多呈铃形（正态）分布，中间值频率较大，两头较小。,2019/6/21,14,四、累积频率与重现期,1、累积频率,等量或超量值的累积频数与总观测次数之比。,是机率相加定理的应用,公式,2019/6/21,15,观测年限越长，则样 本容量越大，其预见性 越可靠。,其中：,2019/6/21,16,观测年限越长，则样本容量越大，其预见性越可靠。,2019/6/21,17,2、重现期, 等于或大于某随机变量 xi 的值，平均多少年 （或多少次）可能遇见一次，简称多少年（或 多少次）一遇。,重现期较累积频率
4、更易懂、具体,2019/6/21,18,其中： T 重现期 p累积频率,对于洪水频率,对于枯水频率,2019/6/21,19,例,2019/6/21,20,五、设计频率标准（简介）,2019/6/21,21,1、频率设计标准是根据工程的重要性及建筑物的等 级来制定的允许破坏率和安全率,建筑物正常运转遭到破坏的可能性,在年内都能保证安全的机率,2019/6/21,22,2、保证率的计算,PM=(1-p)n,n 越小，保证率越大，即 要求保证的年数越小，可以 达到的保证率越大。,2019/6/21,23,33 经验累积频率曲线,一、经验累积频率曲线,2019/6/21,24,二、经验累积频率公式,
5、1、古典公式：,适用于系列比较长，即 n 很大时，否则 p 不合理，故水文计算中一般不采用此种公式。,2019/6/21,25,注意：,2019/6/21,26,2、数学期望公式（维泊尔公式）：,3、中值公式（切哥达也夫）：,符号的意义同上。常用此公式,2019/6/21,27,4、海森公式：,以上几个公式各有特点，从形式上难以确定哪个更符合实际，因为不管哪个公式都存在一定的抽样误差， 且愈靠近两端，误差愈大，故只有增大样本容量，才能使计算结果更接近实际。实践证明，维泊尔公式的结果偏于安全，且公式形式简单，工程水文中常用此式。,2019/6/21,28,2019/6/21,29,三、经验累积频
6、率曲线的绘制和应用,步骤,2019/6/21,30,四、经验累积频率曲线的外延,由于在实际工程中，往往需要将实测的频率曲线向两端延长，以满足于设计频率标准。但若在普通坐标纸上点绘曲线，由于曲线两端曲率变化较大，如果只凭目测使其延长，则误差太大，故可采用以下的方法：,2019/6/21,31,1、应用机率格纸绘制经验累积频率曲线,一般采用海森 机率格纸,（1）可以使密度曲线为正态分布的分布曲线， 在海森机率格纸上呈现一条直线；,（2）由于实测水文资料系列，其密度曲线很少呈 现严格的正态分布，故此分布曲线也并非一 条完全的直线，外延仍有一定的误差。,特点,2019/6/21,32,2、利用数学方程
7、式（即理论累积频率曲线）,对水文资料的频率密度曲线选配 一条合适的数学模型，利用数学的 方法推求累积频率曲线方程式,安全与经济是一对矛盾体，解决问题的办法就是由国家统筹考虑给出的设计频率。,2019/6/21,33,3-4 随机变量的统计参数,统计参数,某些随机事件虽然有共同的统计规律，但不同的系列中，其取值也不同，故描述频率分布的密度曲线和分布曲线也具有不同的形状。为了选配合适的密度曲线数学模型，就必须选好合适的统计参数。,在数理统计法中，为描述不同系列的频率分 布和曲线形状，所采用的能反映其特征的几 个具体数据。,2019/6/21,34,水文统计常用的几个统计参数：,与系列中所有变 量有
8、关，反映系列变量平均水平的参数，是系列量的代表。,2、计算：,一、均值,2019/6/21,35,如： 有一实测系列： x1 ，x2， x3，xn ， 相应的频数是： f1， f2， f3 ，, fn 。,则有：,（1）加权平均法,2019/6/21,36,（2）算数平均法：,当各变量占有同等比重（即出现的次数相同）时。,可写为：,2019/6/21,37,二、均方差、变差系数（离散系数）,1、均值的数学特性：,2、均方差 s,描述系列各变量的离散程度。可用以比较 系列的均值相同时，其离散程度的大小。,2019/6/21,38,（1）公式：,水文资料应是样本， 故一般应用此式。,n 总数,20
9、19/6/21,39,如：有两系列,甲： 10，50，90,乙： 49，50，51,故若比较系列的 离散程度应考虑均值 和均方差,2019/6/21,40,2019/6/21,41,3、变差系数Cv,均方差与均 值的比,2019/6/21,42,（1）公式,2019/6/21,43,（2） 例：,乙系列：995,1000,1005,甲系列：5，10，15,即：当均方差相同时，均值 越小，离散程度越大,2019/6/21,44,（3）影响 Cv 的因素,1 流域形状,2019/6/21,45,2河网的布置,3实测系列时段的长短,同一水文现象，时段长的 Cv 时段短的 Cv,2019/6/21,4
10、6,三、偏态系数(偏差系数),1、偏态系数 Cs,衡量一个系列在均值两侧对称程度的参数。,（1）公式：,2019/6/21,47,（2）Cs 对曲线的影响,正偏态分布,正态分布,负偏态分布,2019/6/21,48,35 理论累积频率曲线,理论累积频率曲线,用数学方程式建立起的频率曲线方程,理论累积频率曲线并非是由理论导出的公式，只是 这种数学方程式的特点与水文统计规律能较好的符合，故 此式只是可用以分析水文样本系列的数学工具，不能说明 水文现象的本质。用数学公式可以达到延长经验频率曲线 的目的。而频率曲线的形状与三个参数有关，故要选配合 适的理论曲线，就须先设定好三个参数。,2019/6/2
11、1,49,一、皮尔逊型曲线,1、方程：,若将坐标原点定在众值处，可写成：,2019/6/21,50,其中：,众值中出现 次数最多的变量。,2019/6/21,51,2、曲线方程中各参数的计算见式 327,3、皮尔逊型曲线的应用,皮尔逊型曲线积分， 可以得到理论累积频率 曲线的随机变量值公式。,2019/6/21,52,（1）公式：,是 p、cs 的函数,2019/6/21,53,1 皮尔逊型曲线只是一种数学模型，具体应用时应 联系具体的水文现象作分析；,（2）问题：,2019/6/21,54,4、统计参数对皮 型曲线的影响,皮 型 曲线是密度 曲线,2019/6/21,55,（1）均值反映位置
12、变化,2019/6/21,56,（2）Cv 反映密度曲线的高矮情况:,Cv=0 时， 成为一条 垂直横坐 标的垂线。,2019/6/21,57,（3）Cs 反映密度曲线的偏斜情况：,因为年最大流 量系列 Cs 无 负值，故曲线 总是峰偏左 （正偏态）。,2019/6/21,58,5、统计参数对理论累积频率曲线形状的影响,2019/6/21,59,（2）cv 的影响：,2019/6/21,60,（3）cS 的影响：,当 cS 23时, 曲线下 端水平。,2019/6/21,61,二、克里茨基闵凯里曲线,是水文学中常用的理论频率密度曲线之一,应用条件,2019/6/21,62,此曲线的适应性大，适
13、合于分析我国北方河流的径 流资料。但因此曲线将下限定于零点，与实际不符（最 大流量与年径流量的最小值均不可能为零），故不常 用，常用的是 p 型曲线。,Cs 2时，曲线下端出现 负值，也与事实不符。,2019/6/21,63,36 抽样误差,一、误差来源,由样本的统计参数来代替总体的统计参数，这 种抽样引起的误差称为抽样误差。,2019/6/21,64,2019/6/21,65,二、抽样误差概述,1、抽样误差的种类：,2019/6/21,66,1 均方误误差的平均值或平均误差,2 机误凡是使误差落在与不落在它们均方误两侧 （即大于和小于误差均值）各 一 个定值范 围内的机率相等（50%）， 则
14、这一定值称机 误。,3 最大误差误差理论一般认为，左右一个均方误为一 般误差范围；三个均方误或四个机误为误 差的极限范围，即最大误差。,2019/6/21,67,由误差理论可知，当误差界限取均值两旁各一个均方差或机误时，有：,由此可知，均方差或 机误是给实际样本以一种 估计其准确性的界限，并 称之为置信区间。 置信区间越小，则误差 越小，因而样本的代表 性也越好。,2019/6/21,68,（1）抽样误差的作用：,2、计算,2019/6/21,69,（2）计算：,2019/6/21,70,37 水文频率分析,频率分析,即确定合适的统计参数,在水文计算中，统计参数的正确与否会直接 影响最终的设计
15、值，故应使统计参数尽可能的与 实测资料相符。,经验适线法,p68,2019/6/21,71,一、方法,公式：,1、矩法,2019/6/21,72,2、适线法,矩法与经验累积频率点据相结合，以选配合 适的理论频率曲线的方法。,2019/6/21,73,试错适线法,2019/6/21,74,（1）将实测点据点绘在机率格纸上（xp ）的关系；,经验累积频率曲线,步骤,2019/6/21,75,（4）据选定的曲线查算 xp 。,（3）将不同 cS 对应的理论曲线同时点绘在经验累积 频率曲线的机率格纸上，找出一条最合适的理论 曲线。,例 310,2019/6/21,76,38 相关分析,自然界中许多现象
16、不是孤立的，而是相互之间有一 定的联系，人们在长期的实践中发现，两个变量之间的 关系可以归纳为两大类。,2019/6/21,77,2019/6/21,78,一、相关分析的意义,1、相关分析,对变量之间数量关系的分析，称为相关分析。,2、意义,当某一水文现象资料较短，而与之有关的另一 水文现象资料较长时，可用相关分析法来延长 较短的系列或插补缺测的资料。,2019/6/21,79,1、按相关变量的多少可分为：,二、相关分析分类,2019/6/21,80,2、按相关的密切程度可分为：,变量之际的关系非常密切，相互 成严格的函数关系。,变量各自独立，互不影响，彼此之 间没有关系。,介于以上两者之间，变量之间不是 相互独立的，但彼此间的关系也不 是非常的密切。,2019/6/21,81,直线相关,曲线相关,统计相关,201
