水文统计PIII型分布课件

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1、1/41,水 文 统 计 梁 川 C. Liang 2010年911月,2/41,6 P-III型分布参数估计和经验频率曲线（p.173-196） 6.1 估计理论 参数估计 X、Cv、Cs 非参数估计 当没有确切的数学分布时 点估计的思想：假设样本X的分布函数为F(x; u0)，u0为未知参数，构造估计量UU(X1,X2,Xn)，若将一个具体样本(x1,x2, ,xn)带入U，则可以得到u0的估计值为uu(x1,x2, ,xn)。 区间估计的思想：即估计参数所在的区间，或永一个区间区区估计未知参数。 常用的两种方法：数理统计方法和水文适线方法。,3/41,数理统计方法： 矩法 格里汶科定理“

2、当n 时，样本的各阶矩即为总体的各阶矩” 带抽样误差时，有偏估计量为( )。 连序样本估计总体参数的公式 p.176 ：,4/41,极大似然法 “发生概率最大的事件可能发生” 对于似然函数： 使 L 达到极值时，有u0i的极大似然估计值和极大似然估计量如下： p.178 例6 *矩法和极大似然法的异同,5/41,权函数法 加权矩法” p.187 马秀峰（1994），以常用参数、Cs和E(x)表示a0及，经换算可得到 Cs-4B(x)/G(x) 式中，B(x)、G(x)分别为加权的一阶和二阶中心矩： 其中，(x) 是权函数，为正态分布的密度函数，即 并满足非负且连续可微。,6/41,概率权重矩法

3、 “样本概率权重矩与分布无关” 丁晶（1988），提出由样本概率权重矩代替总体概率权重矩的估计量。样本的各阶矩为 式中，f(t)和f(x)均为P-III型分布的概率密度函数。,7/41,其中， 进一步推导，还有 这里的H和R都与Cs有关，可通过查表求出，再计算得到x、Cv和Cs。,8/41,水文适线方法： 目估适线法（配线法、图解法） 以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，是集线型选配和参数估计“合二为一”的方法(p.179p.185) 。 基本步骤： 1）将实测水文系列从大到小排列，用经验频率公式(期望公式)计算其频率，并点绘于频率格纸上，得到经验点

4、据；,9/41,2）选定理论频率分布(P-III型)，用矩法估计一组X、Cv和Cs (CsnCv)参数，并查值表； 3）以xp值为纵座标及相应的p值为横座标，在频率格纸上点绘理论频率点据，然后光滑连接成为理论频率曲线；,10/41,4）根据适线准则，检查经验点据与理论频率曲线的拟合情况，进行X、Cv和Cs (CsnCv) 参数调整，重复24步，直到配线拟合满意为止； 5）把确定的理论频率分布曲线之参数作为总体分布的估计值，最后求出所需频率的水文变量设计值。 示例：p.182,11/41,算例1：已知某枢纽有实测21年的年最大洪峰流量资料，试用矩法 初选参数并配线，并推求百年一遇的洪峰流量。,1

5、2/41,解： 1）用期望公式计算经验频率p值（表4-3） 2）用矩法初估统计参数（X和Cv）,13/41,3）点绘经验频率曲线（图4-9）,14/41,4）选配理论频率曲线（表4-4） 5）推求百年一遇的设计洪峰流量 由图4-9，查 p1对应的流量 Qp3730m3/s 或用式 直接计算，得到 Qp11246(13.330.6)3730m3/s,15/41,三点法 在经验频率曲线上任取3个点(xp1,P)、(xp2,P)、(xp3,P)，代入P-III型方程联解，可求得x、Cv和Cs三个参数值。即 消去均方差，则有,16/41,令 偏度系数，当P1、P2和P3为已知时，则有SM(Cs)的函数

6、关系，可制成SCs关系附表3*备查。 这里，P2和一般取50，P1和P3已则取对称值，P31P1，如P55095；P35097等。 另外， 其中，(P1,Cs)(P3,Cs)和50只与Cs有关，可制成附表4*。 于是，由Cs可确定(P1,Cs)(P3,Cs) 和50之值，进而求得x，便能计算Cv/x。 * 参见“水文水利计算”或“工程水文”教材。,17/41,例2：采用例1中的最大洪峰流量资料，按三点法初选参数 进行配线。具体步骤如下: 1）点绘经验频率曲线，见图中虚线所示,18/41,2）从经验频率曲线上读得 Q5 % 2600m3/s Q50%1100m3/s Q90%408m3/s 可以

7、求出 0.369 查附表3，当S0.369时，Cs1.31； 再查附表4，当Cs1.31时， 50-0.209 5953.146,19/41,由此计算 3）取Q1246m3/s、Cv0.55和Cs2.5Cv1.375 进行配线，得到最后成果，如前面图中(实线)所示。 *与例1比较，可见基本上是一致的。,20/41,统计参数的变化对频率曲线的影响： X对频率曲线的影响 X值的增大意味什么？,21/41,Cv对频率曲线的影响 当k=1.0时(直线)，表明了什么？,22/41,Cs对频率曲线的影响 当Cs0.0时，为什么是直线？,23/41,6.2 适线准则 p.186 优化适线准则：用任意一种经验

8、频率公式配合“点线”的离差指标，就可以构成为一种优化适线的方法。 常用的有三种适线方法： 离差绝对值之和最小准则（ABS） 离差绝对值平方和最小准则（OSL） 相对离差绝对值平方和最小准则（WLS）,24/41,离差绝对值之和最小准则（ABS） 使经验公式点据纵座标xi与对应的理论频率曲线纵座标xi0绝对值之和达到最小。 优缺点：概念明确，方法简单；频率曲线右端较平直，左端大洪水点据高居上方(挂灯笼)，使得适线结果偏于不安全。,25/41,离差绝对值平方和最小准则（OSL） 使经验公式点据纵座标xi与对应的理论频率曲线纵座标xi0之差的平方和达到最小。 优缺点：即最 小二乘估计法，更加强调洪水

9、点据的作用；使得频率曲线左端上翘，设计值将比真值偏大较多。,26/41,相对离差绝对值平方和最小准则（WLS） 使经验公式点据纵座标xi与对应的理论频率曲线纵座标xi0相对离差的绝对值平方和达到最小。 优缺点：能够保持洪水点据的相对误差不变，但可能出现系统性偏差。,27/41,对于P-III型分布曲线，理论上应使目标函数取得极小值，即 则有 式中，特征参数(X、Cv “纵标适线” 和Cs)；为的最小二乘估 计值；f(pi,)频率曲线纵座标， 一般地，f(pi,)X(Cv1)。,28/41,6.3 评选标准 p.189 抽样误差：若用均方误差表示，则有 记 bE() ，并称为估计量对的偏。 由此

10、可见，估计量的 抽样误差由两部分组成：一 部分是估计量的抽样方差2， 另一部分是估计量的数学期 望对其真值的偏差b。,29/41,“三性”原则： 无偏性 若对于一切n，有E()成立，则是的无偏估计量；而当n时也成立，则为渐近无偏估计量。 特点：估计量的抽样误差越小越好，而且随机变量的样本平均值是总体平均值的无偏估计量和有效估计量。 P.190 例8,30/41,有效性 若对于一切n，有D(1) D(2)成立，则估计量1较2 有效，并且其方差等于De，则称为有效估计量。 克拉美罗不等式： 式中，De为无偏估计量的方差下界。 特点：正态分布总体的样本均值是有效估计量；而且同名参数的多个无偏估计量，

11、其方差越小的无偏估计量越好。 See P.192193,31/41,一致性 对于任意小的正数0，具有 成立，则是的一致性估计量。 特点：一个好的估计量应随着n的增大而越加精确；样本的特征数字、k阶原点矩都是与总体同名的一致性和无偏估计量。 常常把一个有偏估计量修改为无偏估计量的方法称为纠偏。,32/41,连序样本的无偏估计量：,33/41,不连序样本的无偏估计量：,34/41,衡量估计好坏的评选标准： 水文频率计算的最终目的是估计设计值而不是统计参数，因此，一般通过评价设计值估计的好坏来评价估计方法。具体的指标是：期望损失和期望概率。 期望损失 令设计值的真值xp0，其分布参数的函数为 xp0

12、Hp(1,2,n)；用样本估计参数时，设计值的估计值成为随机变量，即xpHp(1,2,n)。当估计的 xp与xp0不同时，在水利工程重就有可能导致经济损失。 xpxp0时，为超标损失，造成投资浪费； xpxp0时，为低标损失，因工程能力不足而引起破坏。,35/41,若用L(xp, xp0)表示xpxp0不同时引起的经济损失，称为损失函数，那么，对每种估计方法都有一个确定的期望损失R，即 式中，g(xp)为xp的分布密度函数。 理论上，R越小的估计方法越好，这比无偏性和有效性更为合理。,36/41,但是，由于影响期望损失函数的因素十分复杂，目前在水文统计中仍用xp的无偏性和有效性作为评选标准，并

13、要求满足以下两式 式中， 为设计值xp的抽样误差。 另一方面，由于用样本估计的设计值xp代替真值xp0总是存在误差，所以还需要作一定的修正。,37/41,修正值一般取其均方差的 倍数，即 式中，B是与设计频率p和Cs 有关的综合系数，BpCs 关系被制成所谓的B值诺模图， 以供计算时查用。 该图适用于简单随机样本 的P-III型总体分布，并采用期 望公式计算经验频率和绝对准 则适线的情况。 B值诺模图,38/41,关于 P-III型分布各统计参数的均方误差公式：,39/41,期望概率 一般地，样本估计的设计值xp不等同于真值xp0。同理，实际的破坏概率p*也不等同于设计概率p，即 用p(x)和

14、g(x)分别表示x和xp的概率密度，可以证明，在样本各项相互独立的条件下，x和xp也是相互独立的。于是有 式中， ，为t的超过制概率分布函数。,40/41,当设计概率pp*时，总体的破坏概率应该等于样本设计值的破坏概率的均值，此时p被称为期望概率。 换句话说，如果未来任一年设计目标的实际破坏概率等于设计概率，便是一种好的估计方法。 由于现行的估计方法大多数不满足上述要求，尤其p50时，P(xxp)=pp*，平均而言，其设计值总是偏小，致使工程偏不安全。 * 横标适线,41/41,* 练习： 六、在水文的统计参数中，x、Cv、Cs、Ce和各自 表达的水文物理意义，其值是否可以是0，有何理由？ 七、请绘出X-p、k-Cv和k-Cs的大小变化关系图，并解释图 中k值所对应的两条直线的理由，以及当Cs0时，又是 如何的？ 八、列表归纳水文统计中常用数学分布（正态分布、P-III型 分布、耿贝尔分布和K-M分布）的水文统计特征值结 果，包括密度函数和分布函数，以及x、Cv、 Cs、 Ce、各阶矩和特征函数。,