《2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4_（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修选修 4242 矩阵与变换矩阵与变换 第 1 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 1. 已知矩阵A A，B B满足AXAXB B，求矩阵X X. 12 2 1 3 1 解：设X X，由得 a b 12 2 1 a b 3 1 a2b3， 2ab1，) 解得所以X X. a1， b1，) 1 1 2. 已知变换矩阵A A：平面上的点 P(2，1)，Q(1，2)分别变换成点 P1(3，4)， Q1(0，5)，求变换矩阵A A. 解：设所求的变换矩阵A A，依题意，可得 a b c d 及 ， a b c d 2 1 3 4 a b c d 1 2 0 5 即解得 2ab3， 2cd4， a2
2、b0， c2d5，) a2， b1， c1， d2， ) 所以所求的变换矩阵A A. 21 1 2 3. 已知M M，N N，求二阶矩阵X X，使MXMXN N. 21 43 41 31 解：设X X， x y z w 由题意有， 21 43 x y z w 41 31 根据矩阵乘法法则有解得 2xz4， 2yw1， 4x3z3， 4y3w1， ) x9 2， y1， z5， w1. ) X X. 9 2 1 5 1 4. 曲线 x24xy2y21 在二阶矩阵M M的作用下变换为曲线 x22y21，求实 1 a b 1 数 a，b 的值 解：设 P(x，y)为曲线 x22y21 上任意一点，P
3、(x，y)为曲线 x24xy2y21 上与 P 对应的点，则，即代入 1 a b 1 x y x y xxay， ybxy，) x22y21 得(xay)22(bxy)21，整理得(12b2)x2(2a4b) xy(a22)y21， 又 x24xy2y21，所以解得 12b21， 2a4b4， a222，) a2， b0.) 5. (2017扬州中学期初)已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋转 90后，在矩阵A A 对应的变换作用下，得到点 N(3，5)，求 a，b 的值 a 0 2 b 解：由题意， 0 1 10 3 1 1 3 又，所以 a 0 2 b 1 3 3 5 a3， 23b5，
4、) 解得 a3， b1.) 6. 已知曲线 C: y22x 在矩阵M M对应的变换作用下得到曲线 C1，C1在矩阵N N 1 0 0 2 对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2的方程 0 1 10 解：设A ANMNM，则A A，设 P(x，y)是曲线 C 上任一点， 0 1 10 1 0 0 2 0 2 10 在两次变换作用下，在曲线 C2上的对应点为 P(x, y)，则 ， x y 0 2 10 x y 2y x 即 x2y， yx， ) xy， y1 2x.) 又点 P(x，y)在曲线 C: y22x 上， 22y，即曲线 C2的方程为 y x2. ( 1 2x) 1 8 7. 设
5、曲线 2x22xyy21 在矩阵A A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为 a 0 b 1 x2y21.求实数 a，b 的值 解：设曲线 2x22xyy21 上任一点 P(x，y)在矩阵A A对应变换作用下得到点 P(x，y)，则 ， a 0 b 1 x y ax bxy x y 所以 axx， bxyy.) 因为 x2y21，所以(ax)2(bxy)21，即(a2b2)x22bxyy21， 所以解得 a2b22， 2b2. ) a1， b1.) 8. 求圆 C：x2y21 在矩阵A A对应的变换作用下所得的曲线的方程 5 0 0 2 解：设圆 C 上任一点(x1，y1)在矩阵A A对应的变换
6、作用下得到点(x，y)，则 5 0 0 2 x1 y1 ，则 x1 ，y1 ，代入 x2y21 得所求曲线的方程为1. x y x 5 y 2 x2 25 y2 4 9. 已知矩阵A A，B B.若矩阵ABAB对应的变换把直线 l：xy20 变为直 1 0 0 2 1 1 2 0 1 线 l，求直线 l的方程 解： A A，B B， 1 0 0 2 1 1 2 0 1 ABAB. 1 0 0 2 1 1 2 0 1 1 1 2 0 2 在直线 l上任取一点 P(x，y)，设它是由 l 上的点 P0(x0，y0)经矩阵ABAB所对应的变 换作用所得， 点 P0(x0，y0)在直线 l：xy20
7、上， x0y020 . 又ABAB，即， x0 y0 x y 1 1 2 0 2 x0 y0 x y . x01 2y0x， 2y0y， ) x0x1 4y， y01 2y ) 将代入得 x y y20，即 4xy80， 1 4 1 2 直线 l的方程为 4xy80. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，3)在矩阵M M对应的变换作用下得到 1 2 3 4 点 Q(y4，y2)，求M M2 2. x y 解：依题意， 1 2 3 4 x 3 y4 y2 即解得 x6y4， 3x12y2，) x0， y10，) M M2， 1 2 3 4 1 2 3 4 7 10 15 22 所
8、以M M2. x y 7 10 15 22 0 10 100 220 11. 已知曲线 C1：x2y21，对它先作矩阵A A对应的变换，再作矩阵B B 1 0 0 2 对应的变换，得到曲线 C2：y21，求实数 m 的值 0 m 1 0 x2 4 解：BABA，设 P(x0，y0)是曲线 C1上的任一点，它在矩阵BABA变换作 0 m 1 0 1 0 0 2 0 2m 1 0 用下变成点 P(x，y)， 则，则即又点 P 在曲线 C1上， x y 0 2m 1 0 x0 y0 2my0 x0 x2my0， yx0， ) x0y， y0 1 2mx.) 则 y21，所以 m21，所以 m1. x
9、2 4m2 第 2 2 课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 1. 已知变换 T：，试写出变换 T 对应的矩阵A A，并求出其逆矩阵 x y x y x2y y A A1. 解：由 T：，得A A. x y x y 1 2 0 1 x y 1 2 0 1 设A A1 1，则AAAA1 1，所以解得 a b c d 1 2 0 1 a b c d a2c b2d cd 1 0 0 1 a2c1， b2d0， c0， d1， ) a1， b2， c0， d1. ) 所以A A1 1. 1 2 01 2. (2017苏北四市期末)已知矩阵A A的一个特征值为 2，其对应的一个特征 1a 1
10、b 向量为.求实数 a，b 的值 2 1 解：由条件知，AA2，即2，即， 1a 1 b 2 1 2 1 2a 2b 4 2 所以 解得 2a4， 2b2，) a2， b4.) 3. (2017扬州期末)已知 a，bR R，若点 M(1，2)在矩阵A A对应的变换作用 a 1 b 4 下得到点 N(2，7)，求矩阵A A的特征值 解：由题意得，即解得 a 1 b 4 1 2 2 7 a22， b87，) a4， b1，) 所以A A，所以矩阵A A的特征多项式为 f()2815. 4 1 1 4 | 41 14| 令 f()0，解得 5 或 3，即矩阵A A的特征值为 5 和 3. 4. 已知
11、二阶矩阵A A，矩阵A A属于特征值 11 的一个特征向量为 a b c d 1，属于特征值 24 的一个特征向量为2，求矩阵A A. 1 1 3 2 解：由特征值、特征向量定义可知，A A111， 即1， a b c d 1 1 1 1 得同理可得 ab1， cd1. ) 3a2b12， 3c2d8. ) 解得因此矩阵A A. a2， b3， c2， d1. ) 2 3 2 1 5. 已知矩阵A A，A A的逆矩阵A A1，求A A的特征值 3 0 2 a 1 3 0 b 1 解：AAAA1 , ， 1 0 0 1 3 0 2 a 1 3 0 b 1 1 0 0 1 则解得 2 3ab0，
12、a1， ) a1， b2 3，) A A ，A A的特征多项式 f()(3)(1) 3 0 2 1 | 30 21| 令 f()0，解得 3 或 1. A A的特征值为 3 和 1. 6. 已知矩阵A A.若矩阵A A属于特征值 3 的一个特征向量为，求该矩阵的 a 2 b 1 1 1 另一个特征值 解：因为3，则 a 2 b 1 1 1 1 1 a23， b13，) 解得所以A A. a1， b2，) 1 2 2 1 由 f()(1)240， | 12 21| 所以(1)(3)0，解得 11，23. 所以另一个特征值是1. 7. 已知 a，bR R，矩阵A A，若矩阵A A属于特征值 1 的
13、一个特征向量为1 a b 1 4 ，属于特征值 5 的一个特征向量为2.求矩阵A A，并写出A A的逆矩阵 3 1 1 1 解：由矩阵A A属于特征值 1 的一个特征向量为1， 3 1 得， a b 1 4 3 1 3 1 3ab3. 由矩阵A A属于特征值 5 的一个特征向量为2， 1 1 得5， a b 1 4 1 1 1 1 ab5. 联立，解得即A A. a2， b3，) 2 3 1 4 A A的逆矩阵A A1. 4 5 3 5 1 5 2 5 8. 设是矩阵M M的一个特征向量 2 3 a 2 3 2 (1) 求实数 a 的值； (2) 求矩阵M M的特征值 解：(1) 设是矩阵M M属于特征值
