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1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第 1 1 课时 直线的倾斜角与斜率 一、 填空题 1. 已知过点 P(2，m)和 Q(m，4)的直线的斜率不存在，则 m 的值为_ 答案：2 解析：由题意可知，点 P 和 Q 的横坐标相同，即 m2. 2. 若直线过(2，9)，(6，15)两点，则直线的倾斜角为_ 33 答案：120 解析：设直线的倾斜角为 ，则 tan ， 159 6 32 33 0180， 120. 3. 如果图中的三条直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1，k2，k3从小到大 的排列顺序为_ 答案：k30，k30. (1) 求证：这三条直线共有三个不同的交
2、点； (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值 假设直线 l1与 l2交于点 A，直线 l1与 l3交于点 B，直线 l2与 l3交于点 C. (1) 证明：(证法 1)由 axya0， xaya（a1）0，) 解得 x a a21， ya(a2a1) a21 ，) 所以直线 l1与 l2相交于点 A. ( a a21， a(a2a1) a21 ) 由解得 axya0， （a1）xya10，) x1， y0， ) 所以直线 l1与 l3相交于点 B(1，0) 由解得 xaya（a1）0， （a1）xya10，) x0， ya1，) 所以直线 l2与 l3相交于点 C(0，a1) 因为 a
3、0，所以1，且0， a a21 a a21 所以 A，B，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点 (证法 2) 设三条直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3， 则 k1a，k2 ，k3a1. 1 a 由 k1k21 得 l1l2，所以直线 l1与直线 l2相交 由 k1k3，得直线 l1与直线 l3相交 由 a(a1)1 0 知 k2k3，所以直线 l2与直线 l3相交 (a 1 2) 2 3 4 所以直线 l1，l2，l3任何两条均不平行 由得 axya0， （a1）xya10，) x1， y0， ) 所以直线 l1与 l3相交于点 B(1，0) 又1a(a1) 0， (
4、a 1 2) 2 3 4 所以直线 l2不过点(1，0)， 所以直线 l1，l2，l3不可能交于同一点 综上，这三条直线共有三个不同的交点 (2) 解：(解法 1)由 k1k2a1 得 l1l2，所以BAC90. ( 1 a) 由两点间距离公式及(1)，得 AB，AC， a2a1 1a2 1 1a2 所以 SABC ABAC ， 1 2 a2a1 2（a21） 1 2 1 2(a1 a) 1 2 1 2 2 1 3 4 当且仅当 a1 时取等号 所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为 . 3 4 (解法 2)由 k1k2a1 得 l1l2，所以BAC90. ( 1 a) 点 B 到直线 l
5、2的距离 d1，点 C 到直线 l1的距离 d2， 1a（a1） 1a2 1 1a2 所以 SABC d1d2， 1 2 a2a1 2（a21） 以下同解法 1.第 4 4 课时 圆 的 方 程 一、 填空题 1. 若直线 3xya0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则实数 a 的值为_ 答案：1 解析：因为圆 x2y22x4y0 的圆心为(1，2)，所以 3(1)2a0，解得 a1. 2. 圆心在直线 2xy70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0，4)，B(0，2)，则圆 C 的方程为_ 答案：(x2)2(y3)25 解析：由题意知圆心纵坐标 y3，代入直线 2xy70 得圆心 C(
6、2，3)， r222125，所以圆的方程为(x2)2(y3)25. 3. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为 _ 答案：x2(y1)21 解析：由圆 C 的圆心与点(1，0)关于直线 yx 对称，得圆 C 的圆心为(0，1)因为圆 C 的半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)21. 4. 若点(1，1)在圆 x2y2xym0 外，则 m 的取值范围是_ 答案：(0， 1 2) 解析：由题意可知解得 0m . （1）2124m0， 1（1）211m0，) 1 2 5. 若圆的方程为 x2y2kx4yk20，则当圆的面积最大时，圆心
7、坐标为 _ 答案：(0，2) 解析：将圆的方程 x2y2kx4yk20 化为标准方程为(y2) (x k 2) 2 24 . r244， k0 时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2) 3k2 4 3k2 4 6. 已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 2xy 的最大值为_ 答案：5 5 解析：令 b2xy，则 b 为直线 2xyb 在 y 轴上的截距的相反数，当直线 2xyb 与圆相切时，b 取得最值由1，解得 b5，所以 2xy |2 21b| 55 的最大值为 5. 5 7. 已知平面区域恰好被面积最小的圆 C：(xa)2(yb)2r2及 x 0， y 0， x2y4 0，)
8、其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_ 答案：(x2)2(y1)25 解析：由题意知，此平面区域表示的是以 O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角 形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ 为直角三角形，所以圆 心为斜边 PQ 的中点(2，1)，半径 r，因此圆 C 的方程为(x2)2(y1)25. PQ 25 8. 在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则 四边形 ABCD 的面积为_ 答案：10 2 解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是，且点 E(0，1)位于该圆内， 10 故过点 E(0，1)的最短
9、弦长 BD22(注：过圆内一定点的最短弦是以 10（1222）5 该点为中点的弦)，过点 E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即 AC2，且 ACBD， 10 因此四边形 ABCD 的面积为 ACBD 2210. 1 2 1 21052 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)，B(1，0)若动点 C 满足 ACBC，则 2 ABC 的面积的最大值是_ 答案：2 2 解析：设满足条件 ACBC 的 C 点坐标为(x，y)，则(x1)2y22(x1)22y2， 2 化简得(x3)2y28.其中 y0，从而 S 2|y|2，所以ABC 的面积的最大值 1 22 是 2. 2 10.
10、已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆 C 上存 在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为_ 答案：6 解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r1，且 AB2m，因为APB90，连结 OP，易知 OP ABm.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 1 2 P 到原点 O 的最大距离因为 OC5，所以 OPmaxOCr6，即 m 的最大值为 6. 3242 二、 解答题 11. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且 CD4. 10 (
11、1) 求直线 CD 的方程； (2) 求圆 P 的方程 解：(1) 直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1，2) 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. (2) 设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30 . 直径 CD4， PA2， 1010 (a1)2b240 . 由解得或 a3， b6 ) a5， b2.) 圆心 P(3，6)或 P(5，2) 圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道 总宽度 AD 为 6m，行车道总宽度 BC 为 2 m，侧墙
12、 EA，FD 高为 2 m，弧顶高 MN 为 5 m. 311 (1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至 少要有 0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少 解：(1) (解法 1)以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度 建立直角坐标系 则有 E(3，0)，F(3，0)，M(0，3) 33 由于所求圆的圆心在 y 轴上，所以设圆的方程为(x0)2(yb)2r2. F(3，0)，M(0，3)都在圆上， 3 （3 3）2b2r2， 02（3b）2r2，) 解得 b3
13、，r236. 圆的方程是 x2(y3)236. (解法 2)以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度建立直角 坐标系设所求圆的圆心为 G，半径为 r，则点 G 在 y 轴上，在 RtGOE 中， OE3，GEr，OGr3. 3 由勾股定理，得 r2(3)2(r3)2，解得 r6， 3 则圆心 G 的坐标为(0，3)， 故圆的方程是 x2(y3)236. (2) 设限高为 h，作 CPAD，交圆弧于点 P，则 CPh0.5. 将点 P 的横坐标 x代入圆的方程，得()2(y3)236，得 y2 或 1111 y8(舍) 所以 hCP0.5(yDF)0.5
14、(22)0.53.5(m) 答：车辆的限制高度为 3.5 m. 13. 已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3) (1) 求 MQ 的最大值和最小值； (2) 若 M(m，n)，求的最大值和最小值 n3 m2 解：(1) 由圆 C：x2y24x14y450， 化为标准方程得(x2)2(y7)28， 所以圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2. 2 又 QC4， （22）2（73）22 所以 MQmax426， 222 MQmin422. 222 (2) 由题意可知表示直线 MQ 的斜率 n3 m2 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30，则k. n3 m2 由直线 MQ 与圆 C 有公共点， 所以2， |2k72k3| 1k22 解得 2k2， 33 所以的最大值为 2，最小值为 2.第 5 5 课时 直线与圆的位置关系 n3 m233
